Александр родился в 1870 году в Одессе (ныне Украина) в семье писателя, публиковавшегося под псевдонимом Э. Иш-Но`оми. Иудей. После окончания гимназии продолжил образование на кафедре естественных наук физико-математического факультета Новороссийского университета в Одессе (ныне — Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова). В стенах этого вуза А. Безредка увлекся химией. Свои первые научные исследования он проводил под руководством Н. Д. Зелинского. За публикацию «Опыт истории развития стереохимических воззрений» ректорат университета наградил А. Безредку золотой медалью.
Окончив в 1892 году университет, Александр Безредка предпринял попытку поступить на медицинский факультет Киевского или Московского университета. Однако продолжение его научной карьеры в России было возможно лишь после перехода в христианство. В связи с этим Безредка уехал во Францию, где, без сдачи экзаменов, был зачислен на второй курс медицинского факультета Сорбонны. Одновременно Александр на добровольных началах работал препаратором в одной из лабораторий Пастеровского института. Окончив в 1897 году университет, Безредка продолжил работу в Институте Пастера штатным ассистентом лаборатории морфологической микробиологии, которой заведовал заместитель директора Института И. И. Мечников. В 1910 году он стал профессором, а в 1916 году заместителем директора этого института. Живя за границей, Безредка сохранил тесную связь с русской наукой. Под его руководством работали многие русские учёные.
Умер А. М. Безредка 28 февраля 1940 года в Париже.
Основные работы А. М. Безредки посвящены проблеме иммунитета. В 1906 году он занялся изучением проблемы анафилаксии, стараясь найти способы борьбы с анафилактическим шоком (авторство термина также принадлежит Безредке) посредством десенсибилизации организма. Предложенный им метод, сделавший применяемые сыворотки более безопасными в плане развития «сывороточной болезни», считается классическим и в мировой научной литературе связывается с его именем. Суть этого метода проста: сначала в организм с помощью шприца вводится одна или несколько очень малых доз необходимой сыворотки, а спустя 4 часа — всё остальное её количество.
Большую известность получили исследования А. М. Безредки проблем местного иммунитета, которые он проводил на протяжении 12 лет с 1913 по 1925 годы. Несмотря на то, что его теория подверглась основательной критике со стороны оппонентов, отрицающих возможность проявления автономного, без участия всего организма в целом, иммунитета, открытый А. Безредком способ местной иммунизации нашёл применение для профилактики ряда инфекций. Вакцинации по Безредку применяются против брюшного тифа, дизентерии, холеры, сибирской язвы, оспы, вакцинация через кожу против стрептококковой и стафилококковой инфекции. Практическое применение учение о местном иммунитете нашло в хирургии, дерматологии, гинекологии и офтальмологии с целью терапии и иммунизации антивирусов.
Много внимания А. М. Безредка уделял и другим аспектам науки о микроорганизмах. Так, например, он потратил три года на поиски наиболее удачной питательной среды для выращивания туберкулёзных бактерий, в результате была получена среда, позволяющая в течение трёх дней выращивать искомую культуру.
Последние исследования Александра Михайловича были посвящены изучению способов борьбы со злокачественными новообразованиями. Его уход из жизни прервал интересные опыты в поисках специфической вакцинации опухолей.