Вырос в еврейской семье, где говорили на литовском и русском языках (мать росла и училась в Петербурге). Александр учился в католической гимназии вместе с В.Каволисом. Его отец — Юргис Штромас, дипломатический работник, с 1920 служил советником по экономике при посольстве Литвы в Берлине, в 1930-х годах проявлял левые симпатии, с интересом относился к СССР, 27 июня 1941 погиб в Каунасе при националистических расправах над евреями. При немцах Александр в 1941-1943 вместе с матерью, сестрой и другими членами семьи был в каунасском гетто Вильямполе и в концентрационном лагере под Каунасом. Бежал в 1943, укрывался у литовской родни.
После войны стал приемным сыном первого руководителя советской Литвы Антанаса Снечкуса. В 1947-1948 учился в Вильнюсском университете, в 1948-1952 – на юридическом факультете МГУ. По окончании курса работал адвокатом. В 1959-1973 служил в научных институтах Вильнюса, Иваново, Москвы, публиковал работы по праву и национальным отношениям. Сблизился с советскими диссидентами (Л.Пинским, Г.Померанцем, А.Сахаровым, А.Синявским, Ю.Даниэлем, В.Буковским, А.Галичем, А.Гинзбургом, Викторией Чаликовой, А.Яновым, О.Прокофьевым, Т.Венцловой).
В 1973 эмигрировал из СССР. В 1973-1989 жил в работал в Великобритании, преподавал, выступал на радио «Свобода» и Свободная Европа, сотрудничал с Л.Колаковским, Р.Конквестом и др. С 1989 профессор политологии в Хиллсдэйл колледже, Мичиган, США. Познакомился с Валдасом Адамкусом. Автор влиятельных трудов о тоталитаризме, советском политическом устройстве, национальном движении в странах Балтии, переведенных на несколько языков. В 1990-х годах — советник правительства Литвы.
Прах Александра Штромаса похоронен в Каунасе на Петрашюнском кладбище, над могилой воздвигнут памятник (2002) работы Владаса Вильджюнаса.