Александр Корнеев родился в Москве в волейбольной семье. Его мать, Наталья Васильевна Корнеева (Жалнина), выступала за столичное «Динамо», в составе которого становилась обладательницей Кубка СССР (1982) и чемпионкой страны (1983); отец, Владимир Иванович, за годы выступлений в подмосковном «Динамо» неоднократно становился призёром национальных первенств, впоследствии был игроком и тренером московского «Спартака».
Профессиональная карьера Александра Корнеева началась в нижневартовском «Самотлоре», в 1998 году он переехал в Белгород, но определяющим в его карьере стал переход в московский «Луч» в 2002-м. В молодой команде, дебютировавшей в том году Суперлиге, Александр получил полноценную игровую практику, немало поспособствовал успешному выступлению команды Павла Борща в чемпионате страны (5-е место) и стал одним из кандидатов в сборную России.
В первой сборной России Корнеев дебютировал 4 июня 2005 года в матче Евролиги Эстония — Россия (2:3), но вследствие не всегда стабильной игры и традиционно сильной конкуренции среди доигровщиков не смог сразу закрепиться в её составе. В 2006-м, при Зоране Гаиче, Корнеев играл на Мировой лиге и чемпионате мира, с 2007-го, уже при Владимире Алекно, участвовал во всех турнирах, кроме московского чемпионата Европы и был включён в состав олимпийской сборной на Игры в Пекине.
Послеолимпийский сезон Александр Корнеев провёл в казанском «Зените», в составе которого стал чемпионом России. Летом 2009 года он подписал контракт с новосибирским «Локомотивом», в сезоне-2010/11 играл в московском «Динамо», после чего перешёл в уфимский «Урал».