Александр Чернушенко родился в семье дирижёра Владислава Чернушенко. Обучался в хоровом училище при Ленинградской Государственной Академической Капелле, затем продолжил своё музыкальное образование в Ленинградской консерватории. В 1984 году он окончил консерваторию по классу Ильи Мусина. Окончив консерваторию, Чернушенко с 1986 по 1988 год был дирижёром Челябинского театра оперы и балета. В 1988 году он стал дирижёром Ленинградского Малого театра оперы и балета. Затем он был приглашён на должность главного дирижёра Музыкального театра Санкт-Петербургской консерватории.
В 1991 году Александр Чернушенко организовал симфонический оркестр Государственной академической Капеллы Санкт-Петербурга. Он остаётся главным дирижёром этого оркестра со дня его основания 1 ноября 1991 года. В 2002 году Чернушенко было присвоено звание заслуженный артист Российской Федерации, в 2011 году — народный артист Российской Федерации. С 2005 года Чернушенко преподаёт оперно-симфоническое дирижирование в Санкт-Петербургской консерватории.