Тайским боксом Игнашов начал заниматься в 1995 году. На мировую арену он вышел в 1999 году, когда в июле выиграл в Таиланде титул чемпиона мира по престижной версии WMC в бою со шведом Йёргеном Крутом. В октябре того же года Игнашов бился с легендарным Робом Каманом в его прощальном поединке. Решением судей победа досталась голландцу, хотя сам Роб после боя поднял руку Игнашову.
В 2000 году перспективного Алексея пригласили в наиболее престижную мировую лигу кикбоксинга - К-1. Игнашов выиграл отборочный турнир в Минске, победив в финале украинца Сергея Архипова. На следующем этапе отбора в Йокогаме Алексей проиграл более опытному англичанину Мэтту Скелтону.
Тем не менее Игнашов смог закрепиться на мировом уровне и в 2001-2004 годах прочно входил в первую десятку лучших тяжеловесов планеты. В этот период он побеждал таких известных бойцов как Николас Петтас, Бьёрн Бреги, Петер Артс, Майк Бернардо, Сэмми Схилт, останавливал тогда ещё молодых проспектов Бадра Хари, Александра Устинова, Пола Словински. За время выступлений в К-1 Игнашов дважды входил в финальную "восьмёрку" мирового гран-при, став финалистом в 2001 году и четвертьфиналистом в 2003 году (в этот год он считался основным фаворитом после триумфа на отборочном турнире в Париже).
С 2005 года в карьере Алексея начался спад, обусловленный травмами и проблемами личного характера. За счёт побед над Игнашовым в это время получили известность Гёкхан Саки и Грегори Тони. В 2009-2010 годах Игнашов вернулся на большой ринг для боёв с наиболее сильнейшими бойцами Сэмми Схилтом и Бадром Хари (обоих он побеждал в прошлые годы). На этот раз Алексей проиграл.
«Красный Скорпион» особо известен за удары коленом, использовав их в нокаутах с Николасам Петтасом и Картером Вильямсом. Считается талантливейшим кикбоксером в тяжелом весе в мире в наше время. До 16 мая 2009 г. был единственным, кто смог нокаутировать Сэмми Схилт .При этом Алексей считается очень нестабильным бойцом, который периодически показывает вялую и блеклую работу в ринге. К примеру, в бою с Петером Артсом в 2003 г. в четвертьфинале финального турнира К-1. В 2005 году Игнашов травмировал колено в бою против Бьорна Брегги и у него был некоторый спад в выступлениях на ринге. Сейчас он снова набрал форму и готовится к новым боям.
Игнашов тренировался в клубе «Чинук» (Минск). Ныне тренируется в Новой Зеландии и Японии.