Родился 21 ноября 1923 года в семье потомственных ткачей в Красноперекопском районе города Ярославля. Русский. В школе учился хорошо. Любил читать о героях Гражданской войны и часто пересказывал своим товарищам о прочитанном. Школу закончил с похвальной грамотой. До призыва в армию работал слесарем по точным приборам в центральной лаборатории комбината «Красный Перекоп».
В начале 1942 года был призван в армию. В составе 13-го пограничного полка автоматчик Алексей Носков принимал участие в боевых действиях. Вскоре его направили в школу младших командиров войск по охране тыла 3-его Белорусского фронта.
Во время Белорусской наступательной операции «Багратион» школу младших командиров, начальником которой был майор Гожух, неоднократно привлекали для ликвидации отдельных групп фашистов, оказавшихся в тылу советских войск. В начале июля 1944 года личный состав школы принимал участие в уничтожении мародерствующей немецкой группировки у хутора Капланы Витебской области. Награждён орденами Ленина, Славы III степени.
Из наградного листа А. М. Носкова: «В силу внезапного появления унтер-офицера Носков, чтобы спасти майора Гожуха, закрыл его своим телом. Разрывная пуля попала в сонную артерию Носкова. Жизнь офицера была спасена героическим подвигом, самопожертвованием красноармейца, скончавшегося на руках майора». Это произошло 10 июля 1944 года в районе деревни Мешковичи Минской области. Похоронен в братской могиле в селе Мешковичи.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 24 марта 1945 года красноармейцу Алексею Носкову присвоено звание Героя Советского Союза.
Постановлением Совета Министров СССР рядовой Алексей Михайлович Носков удостоен высшей воинской почести — зачислен навечно в списки личного состава пограничной части. В 1965 году его именем были названы улицы в Красноперекопском районе Ярославля (вместо бывшей Ветошной) и посёлке городского типа Логойск. Приказом КГБ СССР от 18 февраля 1976 года именем Носкова названа пограничная застава «Корф» Виленского, Курильского орденов Ленина и Александра Невского пограничного отряда (Камчатка).