В фигурное катание, как и многие, пришёл в раннем детстве. Его самым первым тренером в ДСО «Локомотив» был Ростислав Синицын. Выступал в танцах на льду с Натальей Зыковой (потом солистка в шоу «Holiday on Ice»). Высшим достижением этой пары было десятое место на чемпионате СССР.
Закончив любительскую карьеру, Алексей Горшков пошёл работать на завод. Однако, позже принял решение вернуться в фигурное катание и освоить профессию тренера. До 1993 года он ассистировал своему бывшему наставнику Олегу Эпштейну в Екатеринбурге.
Затем, получив приглашение переехал в Одинцово Московской области. Тренирует преимущественно танцевальные дуэты. В настоящее время, сотрудничает с известным тренером и хореографом Николаем Морозовым.
Среди его прошлых и нынешних учеников находятся такие танцевальные пары, как Наталья Романюта и Даниил Баранцев, Албена Денкова и Максим Ставиский, Оксана Домнина и Максим Болотин, Оксана Домнина и Максим Шабалин, Анастасия Платонова и Андрей Максимишин, Анастасия Гребенкина и Вазген Азроян, Кристин Фрейзер и Игорь Луканин, Нора Хоффманн и Максим Завозин, Анна Задорожнюк и Сергей Вербилло.
Женат. Жена Горшкова Людмила, в девичестве — Кириллова, бывшая фигуристка. Две дочери. Одна из них Анастасия — серьёзно занималась фигурным катанием, была бронзовым призёром чемпионата мира среди юниоров 2005 года в паре с Ильёй Ткаченко, а сейчас, закончив любительскую карьеру, выступает в ледовом театре.