Анатолий Каширов основы баскетбола получал в известной московской детско-юношеской спортивной школе олимпийского резерва «Тринта» (первый тренер — Соцков В. И.). По ее окончании Анатолий мог уехать в NCAA, но выбрал БК ЦСКА (Москва).
Первые два сезона он выступал за молодежную команду ЦСКА (Москва). С начала сезона 2005/2006 годов Этторе Мессина начал привлекать Анатолия Каширова к тренировкам с основной командой, выпуская на короткое время в некоторых матчах российской Суперлиги А, Евролиги, Кубке России. С сезона 2006/2007 у него добавились выступления в Высшая лига А.
Летом 2007 года Анатолий провел в тренировочном лагере Рибок в Италии Тогда же он продлил свой контракт с ПБК ЦСКА до 2012 года..
Анатолий Каширов к окончанию сезона 2007/2008 не смог закрепится в составе ПБК ЦСКА (Москва). У него в передней линии в «ПБК ЦСКА (Москва)» в указанном сезоне были следующие конкуренту: Алексей Саврасенко, Томас Ван Ден Шпигел, Дэвид Андерсен, Маркус Гори, Артём Забелин. Андрей Ватутин и Этторе Мессина приняли решение отдать Анатолия в аренду. «ПБК ЦСКА (Москва)» перед началом сезона 2008/2009 обновил игроков передней линии. Кроме Каширова команду покинули Дэвид Андерсен, Маркус Гори и Томас Ван Ден Шпигел. В «ПБК ЦСКА (Москва)» пришли Александр Каун, Теренс Моррис и Эразем Лорбек.
За «Спартак (Санкт-Петербург)» Анатолий Каширов выступал до 23 января 2009 года. В начале 2009 года «Спартак (Санкт-Петербург)» подписал Алексея Саврасенко, который покинул «ПБК ЦСКА (Москва)» в ходе сезона. С 29 января 2009 года Каширов и до конца сезона выступал за БК «Университет» (Сургут).
В сентября 2009 года по взаимной договоренности ПБК ЦСКА (Москва) и Каширов расторгли договор и Анатолий подписал контракт на один сезон с «Миттельдетчер» (Германия).
29 декабря 2009 года в интервью Анатолий прокомментировал свое решение играть в баскетбольной бундеслиге:
Анатолий Каширов в составе «Миттельдетчера» провел все 34 игры. Был участником матча всех звезд чемпионата Германии по баскетболу в сезоне 2009/2010.
29 июня 2010 года Анатолий заключил контракт на год с «Волтер Тайгерс» из Тюбингена.
26 апреля 2011 года Анатолий Каширов подписал контракт с греческим клубом «Арис» на период плейоффа. Команда заняла 4-е место в чемпионате Греции по баскетболу 2011.
2 июня 2011 года стало известно, что Анатолий Каширов и «Спартак (Санкт-Петербург)» заключили 2-х летний контракт.
11 октября 2011 года вместе со «Спартаком» из Санкт-Петербурга дебютировал в Единой лиге ВТБ в домашнем матче против «ЦСКА». 11 очков Анатолия Каширова помогли хозяевам выиграть со счетом 83 на 81.
В составе молодежной сборной не старше 18 лет (главный тренер Игорь Королев) занял 5-е место на чемпионате Европы 2005.
В составе молодежной сборной не старше 20 лет (главный тренер Евгений Пашутин) занял 10-е место на чемпионате Европы 2006.
В составе молодежной сборной не старше 20 лет (главный тренер Андрей Мальцев) занял 4-е место на чемпионате Европы 2007.
Летом 2009 года Анатолий Каширов выступал за сборную Россию по баскетболу (главный тренер Сергей Белов) на Всемирных Студенческих Игр в Белграде, которая заняла 2-е место.
Анатолий Каширов был участником первого сбора, который проходил с 15 по 25 июня 2010 года в Новогорске, в рамках подготовки к чемпионату мира по баскетболу 2010.
Анатолий Каширов должен был участвовать в первом сборе, который проходил с 27 июня по 03 июля 2011 года в рамках подготовки к чемпионату Европы по баскетболу 2011. Позже он начал подготовку и участвовал во Всемирных Студенческих Игр в Шэньчжэне, где сборная Россия по баскетболу (главный тренер Евгений Пашутин) заняла 4-е место.
Источник: сайт ФИБА-Европы