Родился в Москве. Отец - Горский Дмитрий Дмитриевич (1877-1942), сын священника, выпускник историко-филологического факультета Московского университета, преподавал словесность в гимназии, затем в советской школе. В 1936 репрессирован, освобожден в 1940. Мать - Горская (Смирнова) Варвара Александровна (1896-1985), дочь священника, школьный учитель.
В 1941 окончил школу. Участник Великой Отечественной войны. Служил в 1-й танковой армии, войну закончил в Берлине, гвардии сержант.
В 1947 поступил на исторический факультет МГУ, который окончил с отличием в 1952. После окончания аспирантуры (1955) работал в Государственной публичной исторической библиотеке, в издательстве «Советская энциклопедия».
С 1956 преподавал на кафедре истории СССР периода феодализма истфака МГУ. В 1958 защитил кандидатскую диссертацию «Очерки экономического положения крестьян Северо-Восточной Руси XIV—XV вв.» (научный руководитель Л. В. Черепнин), в 1973 — докторскую «Борьба крестьян за землю на Руси в XV — начале XVI вв.». С 1975 — профессор. В 1979-1988 - заведующий кафедрой истории СССР периода феодализма.
В 1982 стал лауреатом Государственной премии СССР за участие в коллективном труде «Очерки русской культуры».
Жена - Горская (Кожина) Наталья Александровна (1930-2004), историк. Сын - Горский Антон Анатольевич (р. 1959), историк. Внук Анатолий (р. 2006).
А. Д. Горский был также автором учебных пособий для студентов, глав в коллективных трудах по проблемам истории, экономики и культуры России периода феодализма.