Родился 11 апреля 1968 в городе Могилёве в семье рабочего. Белорус. В 1985 окончил 10 классов Могилёвской средней школы № 28, в 1986 — СПТУ № 1. Работал трактористом в совхозе «Днепровский» Могилёвской области. В 17 лет женился. Через год родилась дочь. Несмотря на возможность отказаться от службы в армии, сам согласился лететь в Афганистан.
В Советской Армии с октября 1986. В составе 40-й армии в Демократической Республике Афганистан с апреля 1987. Участвовал в 6-ти боевых операциях.
Пулемётчик 9-й парашютно-десантной роты гвардии рядовой Мельников А. А. особенно отличился 7 и 8 января 1988 года в боях за высоту 3234 с превосходящими силами противника.
Прицельным огнём с частой сменой позиций Андрею Мельникову долгое время удавалось отражать многочисленные атаки врага. Когда у Андрея закончился боекомплект, он добрался до соседнего укрытия за новыми боеприпасами, но упал навзничь, успев только сказать: «Боеприпасы, всё…». Когда с мёртвого героя сняли бронежилет, то не поверили, как он оставался живым столько времени. Судя по ранениям, Андрей должен был умереть ещё несколько часов назад. Пластины бронежилета были вдавлены в его тело от взрывных волн.
Указом Президиума Верховного Совета от 28 июня 1988 года гвардии рядовому Мельникову Андрею Александровичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза.
Награждён орденом Ленина.
В музее воинской части экспонируется пулемёт Героя. Средняя школа № 28 города Могилёва названа именем Героя Советского Союза А. А. Мельникова. На могиле героя установлен памятник с бронзовым бюстом (Могилёв, Польское кладбище).