Дважды (2006 и 2007) Аня была удостоена Золотой медали от шведской газеты Svenska Dagbladet, ежегодно вручаемой шведскому спортсмену или команде, добившихся наиболее выдающихся достижений (эта престижная медаль не может быть вручена одному спортсмену более 2 раз).
Завершила карьеру весной 2012 года.
Имеет саамские корни. В горные лыжи Аня пришла, последовав примеру старшей сестры Фриды. Её тренером по сей день является её отец Андерс. Дебют в кубке мира состоялся 15 марта 1998 года в швейцарском местечке Кран-Монтана в гигантском слаломе. К тому моменту она уже имела звание чемпионки мира среди юниоров. Первая победа в кубке мира была одержана семнадцатилетней спортсменкой 3 декабря того года в американском Мэммот-Маунтине на слаломной трассе.
В 19 лет к спортсменке пришла первая победа на мировом первенстве: в австрийском Санкт-Антоне она первенствовала в слаломе. Всего же на её счету 7 золотых, 2 серебряных и 4 бронзовых медали мировых чемпионатов. Персон является единственным горнолыжником в истории, имеющим титулы чемпиона мира во всех современных дисциплинах.
На Олимпийских играх была одержана только одна победа в слаломе в 2006 году в Турине, но также в активе имеются серебро и бронза Солт-Лэйк-Сити и 2 бронзы Турина. В Турине Аня была знаменосцем сборной Швеции. В Ванкувере-2010 Аня, несмотря на серьёзное падение на самом финише трассы скоростного спуска, сумела через несколько дней выиграть бронзу в суперкомбинации. Персон стала третьей спортсменкой в истории, завоевавшей за карьеру не менее 6 олимпийских медалей в горнолыжном спорте. Кроме Ани это норвежец Четиль Андре Омодт (8 наград) и хорватка Яница Костелич (6).
Всего за карьеру более 350 раз выходила на старт этапов Кубка мира и более 90 раз поднималась на подиум, одержав 42 победы.