Отец до революции был купцом и промышленником. В 1928 выслан в первый раз в Восточную Сибирь, а затем с небольшими перерывами находился в ссылке до 1956. О матери А. Б. Давидсон вспоминал: «Мама (они еще не были мужем и женой) поехала за ним в ссылку разделить его судьбу. Ссыльные называли её декабристской». В Сибири и родился Аполлон Борисович в 1929-м году, в таёжной деревне Ермаково.
Окончил Ленинградский государственный университет (ЛГУ) по специальности «история международных отношений» в 1953. Кандидат исторических наук (Институт истории АН СССР, Москва, 1958). Доктор исторических наук (Институт востоковедения АН СССР, 1971). Профессор.
С 1956 работал в Институте востоковедения Академии наук СССР, а затем в Институте Африки, в Институте стран Азии и Африки при МГУ. Директор Центра африканских исследований Института всеобщей истории Российской Академии Наук. В 1994—1998 — директор Центра российских исследований Университета Кейптауна (ЮАР).
Профессор Московского государственного университета. Профессор кафедры истории идей и методологии исторической науки исторического факультета ГУ-ВШЭ (Государственный университет — Высшая школа экономики). Учебные курсы: «Политическая история», «История и литература Серебряного века и российского зарубежья», «Творческая интеллигенция и власть», «Афроазиатизация мира в XXI в.»
Большинство монографий и статей посвящены новой и новейшей истории стран Африки. Крупнейший российский историк Тропической и Южной Африки. В 1981—1991 побывал в Эфиопии, Анголе, Лесото, Ботсване и по несколько раз — в Мозамбике, Замбии, Зимбабве и ЮАР. С 1977 по 1994 участвовал в советско-американских Дартмутских конференциях как эксперт по Африке.
Изучает также историю Британской империи и, являясь президентом Ассоциации британских исследований, проводит англо-российские коллоквиумы, руководит подготовкой сборников «Россия и Британия». Особенно активно велась работа в 2003, когда отмечалось 450-летие установления отношений России с Британией.
С 2002 г. — главный редактор интернет-энциклопедии «Кругосвет», проекта, интегрирующего интеллектуальное наследие Востока и Запада, целевой аудиторией которого являются школьники, студенты, молодые специалисты.
Со-президент Общества Доброй Надежды (Россия — ЮАР), член Союза писателей Москвы, член Союза журналистов, член Южноафриканского Института расовых отношений, член Южноафриканского исторического общества. Вице-президент ассоциации африканских и арабских исследователей. Член редколлегий журналов «Восток» и «Азия и Африка сегодня».