Родился в Княгинине Нижегородской губернии, в семье священника. Окончил историко-филологический ф-т Казанского ун-та (1870). Доцент (1873), ординарный проф. (1881), заслуженный проф. (1898), декан историко-филологического ф-та (1897). Научные интересы Смирнова лежали в области истории философии, этики и эстетики. В 1873 в Варшавском ун-те защитил диссертацию «Философия Беркли». Особо глубоко анализировал специфику английской философии и этики, начиная с Ф.Бэкона и Т. Гоббса. В Казанском ун-те читал годовой курс по философии Канта. Одним из первых философов России обратил пристальное внимание на развитие математической логики и настаивал на обязательности знакомства философов с работами Джорджа Буля, Уильяма С. Джевонса и других. Смирнов склонялся к эмпирическому истолкованию законов логики.
Смирнов Аполлон Иванович придерживался направления английской эмпирической психологии. Он считал задачей общей теории эстетики изучение того, «что такое красота и что такое чувство красоты, какие предметы, факты, отношения признаются красивыми и какие физиологические и психологические процессы в нас самих соответствуют этим вещам или вызываются ими». Эстетические чувства представляют собой особый класс эмоций (удовольствий и страданий), которые должны подчиняться общим законам удовольствий и страданий; «эстетически прекрасное (или чувство прекрасного, с его объективной стороны) есть то, что доставляет нам наибольшее количество приятных возбуждений при наименьшем количестве возбуждений неприятных в процессах периферических органов нервной системы, прямо не связанных с органическими функциями». Излагая эстетическую теорию музыки, Смирнов Аполлон Иванович указывал, что в действие на нас музыки входит, с одной стороны, чисто физиологический элемент — возбуждение нервной системы, а через неё и мускульной и сосудистой, а с другой — психологический элемент, который распадается на ряд моментов как чисто чувственного характера, так и умственного (единство среди разнообразия и т. п.) и особенно эмоционального; в последний входят чувства удовлетворенного ожидания (мелодии и ритм), контраста, новизны и неожиданности, а также и все те волнения и настроения, которые переживали наши зоологические предки в моменты особенно страстного их возбуждения и которые ассоциировались у них с музыкой, а нами получены путем наследственной передачи; последним Смирнов Аполлон Иванович объяснял смутность, неуловимость, невыразимость чувств, возбуждаемых в нас музыкой.