Закончил Берлинский университет и в 1839 приехал в Москву, где занялся изучением русской истории. Писал с 1841 в «Москвитянине» (среди прочего и разбор «Энциклопедии права» Неволина). В 1844 Куник был определён адъюнктом Академии наук по русской истории, а с 1850 работал уже экстраординарным академиком. Старший хранитель Эрмитажа, член археографической комиссии и её главный редактор для иностранных актов.
В 1876 Куник в Киевском университете стал доктором русской истории honoris causa. Наиболее значительный труд Куника — «Die Berufung der schwedischen Rodsen durch die Finnen und Slaven» (СПб., 1844). Выступая здесь представителем норманнской теории происхождения Руси и впервые применяя к изучению русской истории историко-генетический метод языкознания, в том виде, как он был разработан Якобом Гриммом, Куник даёт и всему варяжскому вопросу иную постановку: по его мнению, важно не столько определение имени и национальности основателей русского государства, сколько определение того, какие новые начала были внесены ими в русскую жизнь.
И в своих позднейших исторических работах, которые почти все печатались в «Записках Академии Наук», а частично вышли и отдельно, Куник широко пользовался лингвистическими данными, причём особое значение он придавал сравнительному изучению названий рек или «сравнительной потамологии».
Таковы, например, его:
Среди многочисленных (свыше 120) статей, заметок и записок Куника особенно выделяются относящиеся к области исторической этнографии:
а также византиноведения:
К истории просвещения в России относятся следующие труды Куника:
А. А. Куник издал также сочинения Круга и «Русско-ливонские акты, 1189—1601» (СПб., 1868 г.).
В 1866 году А. А. Куник, по заданию министра народного просвещения, директора Императорской публичной библиотеки графа И. Д. Делянова, занимался приобретением части архива покойного А. Л. Майера у его сестры. По этим ценным документам он провёл большую работу по изучению деятельности самого А. Л. Майера и работе по составлению «Атласов предположений о застроении С.-Петербурга. 1703—1839».
Куник был активным защитником подлинности Краледворской и Зеленогорской рукописей (как ныне доказано, подделок Вацлава Ганки).