Армен Назарян начал заниматься греко-римской борьбой в 1983 году в Масисе под руководством Роберта Нерсесяна. В 1987 году поступил в ереванскую СДЮШОР, где продолжил тренироваться под руководством Роберта Асрияна.
Первые успехи на международном уровне пришли к Армену Назаряну в 1993 году, когда он стал чемпионом мира среди молодёжи и серебряным призёром чемпионата мира среди взрослых. В 1994 году побеждал на молодёжном и взрослом чемпионатах Европы. В 1995 году снова становился чемпионом Европы и серебряным призёром чемпионата мира. Таким образом уже к первым для него Олимпийским играм в Атланте Армен Назарян подошел в статусе одного из фаворитов соревнований в своей весовой категории. В ходе олимпийского турнира он одержал уверенные победы во всех пяти схватках, при этом взяв верх над действующим чемпионом Европы украинцем Андреем Калашниковым и действующим чемпионом мира россиянином Самвелом Даниеляном. Завоевав золотую медаль Олимпийских игр в Атланте, Армен Назарян вошел в историю спорта как первый и пока единственный армянский спортсмен ставший Олимпийским чемпионом после того как Армения получила возможность делегировать на Олимпийские игры отдельную команду под своим флагом.
В 1997 году Армен Назарян переехал в Болгарию и в дальнейшем выступал на международных соревнованиях за эту страну. Тогда же он перешёл в более тяжёлую весовую категорию. На протяжении двух следующих олимпийских циклов Армен Назарян стал одним из самых титулованных борцов своего времени, четырежды побеждая на чемпионатах Европы и дважды на чемпионатах мира, завоевав золотую и бронзовую медали на Олимпийских играх в Сиднее и Афинах соответственно. В 1998 и 2003 годах признавался ФИЛА лучшим борцом года.
В 2005 году он третий раз стал чемпионом мира, а после неудачного выступления на чемпионате мира в 2006 году в Гуанчжоу взял длительную паузу в выступлениях. Вернувшись на ковер в 2008 году, Армен Назарян выиграл серебряную медаль чемпионата Европы в Тампере и получил таким образом право участвовать в Олимпийских играх в Пекине. В начале олимпийского турнира уже в первой схватке он победил действующего чемпиона мира Давида Бердинадзе, но в дальнейшем не смог завоевать медаль. После этого принял решение завершить спортивную карьеру. Относительно неудачные выступления в конце карьеры и необходимость ее завершения Армен Назарян объяснял не столько неизбежным в его возрасте ухудшением физических кондиций, сколько психологической усталостью, которая возникала при необходимости выходить на несколько поединков, проводимых в коротком временном интервале.
С 2008 года Армен Назарян сосредоточился на тренерской деятельности, работает помощником главного тренера сборной Болгарии по греко-римской борьбе и советником в Федерации борьбы Болгарии.