Арсен Старков родился 8 февраля 1874 года в городе Торжок Тверской губернии. Учился в Московском университете, который закончил в 1897 году. В Институте топографической анатомии и оперативной хирургии Московского университета выполнил и в 1900 году защитил диссертацию «Этиология и патологическая анатомия мышечной кривошеи». По некоторым данным работал определённое время профессором Московского университета. После октябрьской революции 1917 года, переехал в Киев.
В 1917 году стал профессором и заведующим кафедрой анатомии Университета святого Владимира в Киеве. Позже он возглавил кафедру анатомии Украинского государственного университета с украинским языком преподавания. Учениками и помощниками профессора А.Старкова были прозекторы Н.Вовкобой, Ф.Цешковский, М.Спиров, а помощниками прозекторов — В.Овен, Л.Краузе, В.Кибальчич, М.Сауляк-Савицкая. Профессор подготовил ряд учёных-анатомов, начал формировать украинскую анатомическую школу.
После создания Владимиром Вернадским в 1918 году Украинской Академии наук (позже — ВУАН), профессор Арсен Старков в 1921 стал одним из её действительных членов (в области медицинской биологии), академиком кафедры анатомии Физико-математического отдела академии наук. Он был в числе первых академиков-медиков в Украинской Академии наук. В том же году Старков организовал в Академии лабораторию для исследования центральной нервной системы. 1 июля 1921 года в Академии была создана комиссия по изучению центральной нервной системы под руководством академика А. В. Старкова.
В 1922 году академик Старков получил от Академии наук командировку в Прагу. Там с 1923 по 1925 он преподавал на должности профессора биологии Украинского высшего педагогического института. В 1923 году он был избран посредником между ВУАН и общественными организациями Чехословакии; он становится внештатным академиком ВУАН. Позже он некоторое время был профессором Рижского университета.
В 1925 году в Праге был издан первый учебник по биологии на украинском языке, книга профессора Старкова «Общая биология (Химический и физический субстраты жизни. Общее понятие про клетку)».
Умер академик Старков в Вене 18 декабря 1927 года. Хотя его научно-педагогическая деятельность на Украине не была продолжительной, он смог положить начало своей анатомической школе.