Родился в семье купца, потомственного почетного гражданина г. Козлова — Александра Степановича Кожевникова и его жены Натальи Васильевны. У них было трое детей: кроме Дмитрия — старший брат Владимир и сестра Зинаида. После смерти жены отец женился на Марии Григорьевне Тарановской; в этом браке был рождён сын Григорий.
Учился Дмитрий в 4-й Московской гимназии. В 1878 году закончил физико-математический факультет Московского университета первым кандидатом естественного отделения; в 1882 году защитил в Одессе магистерскую диссертацию: «Об анатомическом строении лепестковидных цветковых покровов» (Одесса, 1881).
Помимо этого, опубликовал: «Beitr?ge zur Flora des Tambowischen Gouvernements» (M., 1876), «К истории развития цветка в семействе Araceas» (M., 1878) и, вместе с В. Я. Цингером: «Очерк флоры Тульской губернии» (СПб., 1880).
Кожевников умер в 1882 году в Ментоне от туберкулёза.
В честь Д. А. Кожевникова были названы следующие таксоны: