Джек родился в семье торговца в 15 км от Сиднея на окраине городка Хартсвилл. После окончания школы, в 15 лет, устроился на работу в гараж, где занимался ремонтом автомобилей.
Во время Второй мировой войны служил в королевских воздушных силах. По возвращении с войны, в 1946 году открыл небольшую мастерскую по ремонту автомобилей. Также он участвовал в чемпионате Нового Южного Уэлса (New South Wales Championship) и одержал в нем победу.
В 1955 дебютировал на Гран-при Великобритании в чемпионате Формулы-1 в команде Cooper Car Company . В 1959 Бребем стал чемпионом Мира в команде Cooper Car Company. А в 1960 он повторил успех с командой Cooper Car Company. В третий раз повторить свой успех смог только в 1966 году за рулем болида собственной команды Brabham.