В 2004 году, выступая за Россию, Эдуард Амбарцумян выиграл чемпионат мира среди юниоров, проходивший в корейском городе Чеджу. В 2006 году он стал серебряным призёром чемпионата России. С 2007 года выступает за Армению. На чемпионате мира в Чикаго дошёл до 1/4 финала, гарантировав себе олимпийскую лицензию.
Во время боксёрского турнира XXIX Летних Олимпийских игр в Пекине в 2008 году, в весовой категории до 64 кг. проиграл в первом круге будущему победителю турнира доминиканцу Феликсу Диасу.
На чемпионате Европы в 2008 году выиграл четыре боя и вышел в финал. Его соперник по финалу венгр Дьюла Кате получил травму уже в первом раунде финального поединка и был снят врачом с соревнований, а Эдуард Амбарцумян был провозглашен чемпионом Европы.