Мать, Наталья Александровна — кандидат экономических наук, доцент Черниговского института экономического управления, а отец, Дмитрий Леонидович — инженер.
В детстве Елена занималась спортивной гимнастикой, затем большим теннисом. В стрельбу, по её собственному признанию, пришла случайно: в 11 лет по инициативе мамы пошла в областной спортивно-стрелковый клуб в Чернигове. Предпочтение пулевой стрельбе Костевич отдала через год после начала тренировок, когда почувствовала, что не успевает совмещать стрельбу, теннис и учёбу в общеобразовательной школе.
При выборе спортивной специализации Елена руководствовалась тем, что четверокласснице легче держать в руке килограммовый пистолет, чем более тяжёлую винтовку. Но, как говорит сама спортсменка, «было отнюдь не проще в спортивном плане».
В свободное от тренировок время любит отдохнуть с книгой, а кроме того, по её утверждению, становится заядлым автолюбителем.
Елена Костевич закончила Черниговский технологический университет, учится в аспирантуре Киевского национального университета технологий и дизайна по специальности «экономика предприятий», выступает за спортивные общества «Колос» и «Динамо», имеет звание лейтенанта СБУ, является членом сборной Украины и членом Федерации стрельбы Украины.