Родителей Елены зовут Сергей (сопровождает дочь на соревнованиях) и Ирина (работает учителем). У уроженки Львова также есть младший брат — Дмитрий — в своё время также пробовавший себя на стезе профессионального тенниса.
Первые шаги в теннисе Веснина сделала в 7 лет в ДЮСШ в Сочи.
Любимыми покрытиями называет грунт и хард. Среди теннисных кумиров выделяет Мартину Хингис.
Юниорская карьера Елены включила в себя несколько побед на относительно значимых результатов: в 2002 году 16-летняя теннисистка, в паре с соотечественницей Алисой Клейбановой выигрывает престижный Кубок Озерова., а несколько месяцев спустя, в составе национальной сборной, доходит до финала юниорского Кубка Федерации. Через год Веснина неплохо проводит Чемпионат Европы, добравшись до полуфинала одиночного турнира и сыграв в финале в парах.
Карьера россиянки в юниорском туре завершается летом 2004 года. На своём первом и последнем турнире Большого шлема в этой возрастной группе она доходит до четвертьфинала одиночного турнира, где уступает будущей чемпионке — болгарке Сесиль Каратанчевой. Нечастые игры в соревнованиях юниорского тура не позволяют добиться сколько-нибудь высоких позиций в местном рейтинге.
К 2002 же году относятся и первые турниры во взрослом туре: Елена провела пару 10-тысячников в Египте, выиграв на них свои первые матчи. Через год, четырежды дойдя до финалов соревнований женского тура ITF, Веснина впервые поднимается в число трёхсот ведущих теннисисток мира. В 2004 году продолжить значительно подниматься по рейтинговым ступеням не удаётся, но в конце ноября россиянке удаётся впервые в карьере пробиться в основу турнира WTA — в Квебеке.
Параллельно с успехами в одиночных турнирах обозначаются неплохие перспективы и в паре — в это время Веснина шесть раз доходит до финалов турниров женского тура ITF и шесть раз берёт титул.
В 2005 году россиянка удаётся выйти на новый уровень — серия успешных турниров во время европейской грунтовой серии позволяет Елене в июле — перед турниром в Палермо — войти в число двухсот сильнейших теннисисток мира, а полтора месяца спустя дебютировать на взрослом турниром Большого шлема: в США. До конца сезона Веснина добывает ещё несколько полуфиналов и четвертьфиналов и к началу нового года обосновывается на 106-й строчке одиночного рейтинга. В этом же сезоне одержаны первые победы над игроками Top100 — в Линце обыграна Эммануэль Галльярди, а в Квебеке — София Арвидссон.
2005 год же становится очень удачным и в парном разряде — Елена в паре с соотечественницей Анастасией Родионовой побеждает на всё том же зальном турнире в Квебеке.
В начале 2006 года Веснина в очередной раз совершает качественный рывок в своих результатах: на своём дебютном турнире Большого шлема в основной сетке — в Австралии — она пользуется благоприятной сеткой и прорывается в четвёртый круг турнира, где уступает соотечественнице Надежде Петровой. Заработанных очков хватает на то, чтобы отыграть в рейтинге более двадцати позиций и впервые подняться на 74-ю строчку одиночного рейтинга.
В дальнейшем Елена добивается третьих кругов на соревнованиях в Майами (и победа над 11-й ракеткой мира Франческой Скьявоне), Амелии-Айленде и Страсбурге, что позволяет ей отыграть в рейтинге ещё десяток позиций.
Во время летнего отрезка сезона результаты становятся более стабильны: лишь единожды на семи турнирах между Roland Garros и US Open Веснина покидает турнир уже после первого круга. Набранных очков хвает на то, чтобы подняться уже до 44-й позиции в рейтинге. Серию удаётся продолжить и осенью, результатом чего становится сохранение завоёванных ранее позиций и первый в карьере финиш по итогам сезона в Top50.
Парный сезон также был весьма удачен — серия стабильных результатов была дополнена двумя финалами турниров WTA — в Бангалоре весной и в Пекине осенью, а также выходом в четвертьфинал на Roland Garros. Во второй половине года Елена весьма продуктивно сотрудничала с соотечественницей Анной Чакветадзе.
Продолжить качественное улучшение результатов не удаётся, но за счёт периодических всплесков результатов Весниной удаётся без особых проблем удерживаться в рейтинге в середине первой сотни. Несколько раз россиянка близка к выходу в свой первый одиночный финал соревнований WTA: В Форрест-Хиллс её останавливает Виржини Раззано, а в Ташкенте — Виктория Азаренко. В 2008-м году Веснина ни разу не доходит до этой стадии и немного сдаёт свои позиции в классификации.
Вновь неплох был парный год: серия стабильно качественных выступлений позволила, в какой-то момент, подняться в Top30 парного рейтинга. Наиболее удачным было сотрудничество с Еленой Лиховцевой, принёсшее три финала соревнований WTA. Через год парные результаты ещё улучшаться: за счёт титула Индиан-Уэллсе, финала в Амелия-Айленде и полуфинала в Чарлстоне Елена не только заметно улучшает свои позиции в рейтинге, но и доказывает национальной федерации необходимость своего включения в заявку на Олимпийские игры. Во второй половине сезона-2008 добыто ещё несколько полуфиналов и один финал. К концу года Веснина впервые входит в число двадцати сильнейших парниц мира.
В межсезонье россиянка начинает работать с новым трениром — в недавнем прошлом с одним из лучших теннисистов России Андреем Чесноковым. Сотрудничество с самого начала оказывается весьма продуктивным: на первом же совместном турнире — в Окленде — Елена прорывается в финал, обыграв Каролину Возняцки, но уступив Елене Дементьевой. В дальнейшем Веснина добывает ещё несколько четверть- и полуфиналов и к Roland Garros возвращает себе место в числе пятидесяти сильнейших теннисисток мира.
Травяной сезон приносит повторение лучшего результата на турнирах Большого шлема — на кортах Уимблдона играет в четвёртом круге.
Во второй половине года россиянка закрепляет завоевания первой половины года выйдя в финал в Нью-Хейвене и несколько раз добравшись до третьих кругов. По итогам года она 24-я ракетка мира.
В парных соревнованиях Веснина закрепляется в статусе одной из сильнейших теннисисток в этом разряде. На фоне результатов года выделяется грунтовая серия соревнований, проведённая с белорусской Викторией Азаренко — сыгравшись на двух турнирах премьер-серии дуэт из бывшего СССР затем доходит до финала на Roland Garros, обыграв по дороге две пары китаянок, Елена и Виктория не находят контраргументов в решающей встрече против испанок Вирхинии Руано Паскуаль и Анабель Медины Гарригес, взяв у них за матч лишь два гейма.
В 2010-м году Чесноков постепенно прекращает сотрудничество с Еленой, что быстро сказывается на одиночных результатах россиянки: так на Australian Open начинается серия из шести турниров Большого шлема, где Веснина уступает уже в первом круге. На соревнованиях регулярного сезона всё обстоит несколько лучше, хотя и там россиянка периодически выдаёт длительные безвыигрышные серии. Тем не менее, несколько хорошо проведённых турниров, включивших в себя один полуфинал и два финала соревнований WTA, позволили Елене завершить год на 53-й строчке классификации.
В парных соревнованиях третий год подряд удаётся удерживать место в Top30 классификации. Сменив за год несколько партнёрш, Елена добилась наибольших успехов в летний период (вместе с Верой Звонарёвой), когда сыграла в финале Уимблдона и отметилась в четвертьфинале турниров в Монреале и Нью-Йорке.
В 2010 же году Веснина впервые добивается каких-либо значимых результатов в миксте: в паре с израильтянином Энди Рамом она выходит в четвертьфинал в Австралии, где уступает будущим чемпионом — дуэту Леандер Паес / Кара Блэк.
Результаты в одиночном разряде вновь стабилизируются на уровне игрока середины первой сотни одиночной классификации. Наиболее значимый очковый вклад был сделан россиянкой на двух турнирах премьер-категории — в Чарлстоне и Москве, где Елена Дошла до финала и полуфинала, уступив Каролине Возняцки и Доминике Цибулковой соответственно.
В парных турнирах для россиянки начинается индийский период: постоянной партнёршей в женских турнирах становится Саня Мирза, а в миксте компанию ей составляет сначала Махеш Бхупати, а затем Леандер Паес.
В женской паре Елена и Саня доказывают свой потенциал на соревновании в Индиан-Уэллсе, где обыграв множество сильных пар девушки завоёвывают свой первый совместный титул. В дальнейшем интернациональная пара ещё множество раз доходит до решающих стадий крупных турниров (в том числе выходит в финал на Roland Garros), однако из-за проблем с коленом у Мирзы, обозначихся ближе к осени и вызвавших операцию, девушки не смогли побороться за попадание на Итоговый турнир. В отсутствии Сани Елена сыграла несколько турниров с другими партнёршами: наиболее удачным стало сотрудничество с новозеландской хорваткой Мариной Эракович — девушки победили на зальных соревнованиях в Линце.
В миксте наиболее удачный отрезок пришёлся на вторую половину сезона: на Уимблдоне, вместе с Бхупати, россиянка добирается до финала, где уступает проводившему один из лучших в карьере турниров Юргену Мельцеру и Ивете Бенешовой; а несколько месяцев спустя. вместе с Паесом, выходит в полуфинал на US Open, где снимается с соревнований из-за травмы партнёра.
В межсезонье Елена начинает сотрудничество с Андреем Ольховским.
Одиночный сезон начинается с четвертьфинала на соревнованиях в Окленде, после чего, на следующих четырёх турнирах, выигрывает лишь один сет.
В парном разряде всё складывается куда удачнее: во время австралазийской серии Саня и Елена доходят до полуфиналов во всё том же Окленде и на Australian Open (в Мельбурне удалось обыграть первую пару мира Реймонд / Хубер). Благодаря этим результатам Веснина впервые поднимается на восьмую строчку парного рейтинга. Последующая зимне-весенняя хардовая серия начинается с финала соревнований в Дубае.
Сезон в миксте начинается с финала на Australian Open, где Елена и Леандер на решающем тай-брейке уступает паре Маттек-Сандс / Текау.
Руководство сборной периодически привлекает Елену в состав национальной команды с 2006 года. Наиболее активный период не только вызовов в тренировочный лагерь, но и игр за команду пришёлся на 2006-08 год, когда Веснина восемь раз выходила на корт в форме национальной команды.
Всего, на сегодняшний день, на счету уроженки Львова девять матчей за сборную 9 семь из которых пришлись на парные игры). Дважды капитан сборной выставлял Елену на решающий парный матч: в 2007-м году Веснина и Надежда Петрова одолели в пятой встрече полуфинала турнира американок Винус Уильямс и Лизу Реймонд; а четыре года спустя Веснина и Мария Кириленко уступили в решающем матче финала турнира чешкам Квете Пешке и Луции Градецкой. В промежутке между двумя этими событиями при участии уроженки Львова было выиграно два трофея турнира (в 2007 и 2008 годах).
В 2008-м году, в 22 года, Елена получила свой первый шанс сыграть на Олимпиаде. Вместе с Верой Звонарёвой они дошли до четвертьфинала парного турнира, обыграв испанок Нурию Льягостеру Вивес / Марию Хосе Мартинес Санчес, но уступив будущим чемпионкам — сёстрам Уильямс.