В профессиональном снукере он появился в 1994 году, а в 1998, на чемпионате мира вышел в основную стадию турнира. В 2007, на турнире China Open Эльфи снова вышел в основную стадию, победив в квалификации Шоката Али, Рода Лоулера и Дэвида Грэя. Но в уайлд-кард раунде он уступил местному игроку Мэй Сивэню со счётом 2:5.
В 2009 году Бёрден стал первым за последние 11 лет англичанином, победившим на любительском чемпионате мира. В финале он выиграл у бразильца Игора Фигейрэдо со счётом 10:8.
Сейчас тренером Бёрдена является Ник Бэрроу, под его руководством Эльфи выиграл IBSF World Championship 2009 года. На следующий сезон Бёрден получил путёвку в мэйн-тур.
Бёрден подписал новый 4-летний контракт с менеджерской компанией On Q Promotions. Эта компания ведёт таких игроков, как Джимми Уайт, Стивен Ли, Барри Хокинс, Джерард Грин и Роберт Милкинс. Теперь его делами занимается менеджер Пол Маунт.
Бёрден до 16 лет играл за молодёжный состав лондонского «Арсенала». После неудачного подката соперника получил сложный перелом ноги и был вынужден завершить свою футбольную карьеру.