Родился в селе Волфино ныне Глушковского района Курской области в семье крестьянина. Русский. Детство и юность проходили в городе Прокопьевск (Кемеровская обаласть). Окончил 7 классов школы. Работал учеником, затем слесарем на сахарном заводе. Окончил тракторный техникум.
В Красной Армии с 1935 года. Окончил 9-ю Харьковскую военную авиационную школу лётчиков и лётчиков-наблюдателей в 1938 году. Участвовал в советско-финляндской войне 1939—1940 годов, за что награждён орденом Красной Звезды.
Участник Великой Отечественной войны с первого дня. Был командиром звена, заместителем командира и командиром эскадрильи. Член ВКП(б) с 1942 года.
21 июля 1944 года в воздушном бою в районе населённого пункта Седлище (Польша) капитан Азаров Е. А. на Ла-5 таранил истребитель противника. Приземлился на парашюте.
К августу 1944 года майор Азаров совершил 339 боевых вылетов, в 101 воздушном бою сбил лично 15 фашистских самолётов.
Звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 4690) майору Азарову Евгению Александровичу присвоено 19 августа 1944 года.
С апреля 1946 года майор Е. А. Азаров — в запасе по болезни. Жил в городе Пушкино Московской области. Работал ювелиром в артели инвалидов войны «Московский часовщик». Умер 26 января 1957 года.
Азаров, Евгений Александрович на сайте «Герои страны» (Проверено 19 января 2010)