Фарман Салманов родился 28 июля 1931 года в селе Морул (Ленинск) Шамхорского района Азербайджанской ССР. По национальности — азербайджанец. После того, как в 1937 году был арестован отец, Фарман стал опорой матери в воспитании троих младших детей. На интерес к Сибири на Салманова повлиял его дед Сулейман, которого приговорили в 1888 году к двадцатилетнему заключению за то, что он отказался платить налог мечети во время своей поездки в Гянджу к имаму и натравил собак на старшего муллу, который прибыл из губернии с целью заставить его это сделать. Находясь в ссылке в Сибири, дед участвовал в русско-японской войне и за проявленную храбрость был награждён и освобождён, женился на русской сибирячке Ольге Иосифовне, принявшей мусульманское имя Фируза и вернулся со своей семьёй на родину. Как позднее вспоминал Фарман Салманов, его дед много рассказывал о Сибири и Дальнем Востоке, а одну из своих внучек назвал Амура в честь реки Амур. В интервью «Российской газете» Салманов рассказал:
Окончив в 1947 году среднюю школу в селе Шамхор, Салманов пошёл работать коллектором Ширванской комплексной экспедиции. В 1954 году он окончил геологоразведочный факультет Азербайджанского индустриального института по специальности «горный инженер-геолог».
По окончании института он был направлен искать нефть в Кузбассе. В период с 1955 по 1957 годы Салманов работал начальником Плотниковской и Грязненской нефтегазоразведочных экспедиций (Кемеровская, Новосибирская область). Считая бесперспективным поиск нефти в Кузбассе, Салманов в августе 1957 года самовольно и тайком увёл свою геологическую партию в Сургут, уверенный в том, что там есть нефть. Салманова пытались отстранить от работы и судить, однако он продолжал бурение. Чтобы не нагнетать обстановку, начальство подписало задним числом приказ о переброске партии Салманова в Сургут. Позднее Фарман Салманов вспоминал: «Шуму было много, мы же связь отключили. С должности меня хотели снять. Но в конце концов разрешили остаться. Сначала ютились на вокзале вместе с женами и детьми. А 21 марта 1961 года, на мой любимый азербайджанский праздник — Новруз байрам, первая скважина в районе селения Мегион дала фонтан нефти. Я прыгал и кричал: „Мы победили!“».
Первая скважина в районе селения Мегион дала фонтан нефти 21 марта 1961 года. Всем своим оппонентам Салманов отправил письма одного содержания: «Уважаемый товарищ, в Мегионе на скважине № 1 с глубины 2180 метров получен фонтан нефти. Ясно? С уважением, Фарман Салманов». Оппоненты ответили, что это природная аномалия, что через пару недель скважина иссякнет, и что большой нефти в Западной Сибири не может быть. После того, как и из второй скважины в районе Усть-Балыка забил фонтан, Салманов отправил начальству радиограмму: «Скважина лупит по всем правилам», а Н. С. Хрущёву телеграмму следующего содержания: «Я нашел нефть. Вот так, Салманов». Министр нефтяной промышленности СССР Лев Чурилов вспоминал:
В период с 1962 по 1964 годы Салманов являлся главным геологом Усть-Балыкской НРЭ, а с 1964 года — начальник Правдинской НРЭ. В 1970 году он был назначен главным геологом по нефти и газу, заместителем Ю. Г. Эрвье — начальника главного Тюменского производственно-геологического управления, а в 1978 году — начальником «Главтюменьгеологии». Проработав в Западной Сибири более 30 лет, он стал первооткрывателем и участником открытий на тюменском севере более 130 месторождений «чёрного золота» и «голубого топлива», среди которых крупнейшие: Мамонтовское, Мегионское, Правдинское, Усть-Балыкское, Сургутское, Фёдоровское, Уренгойское, Ямбургское и многие другие, ставшие надёжной базой нефтегазового комплекса России.
В 1987 году переехал в Москву. В период с 1987 по 1991 года был первым заместителем министра геологии СССР. В 1992 году он создал компанию «Роспан». Являлся главным редактором научно-технического журнала «Геология нефти и газа». Народный депутат РСФСР (1980—1990), Азербайджана. С именем Салманова связывают и создание футбольного клуба «Тюмень». Он являлся также советником председателя совета директоров ООО НГК «Итера», председателем совета директоров ООО «Югнефтегаз».
До последних дней Ф. К. Салманов в ООО НГК «Итера» занимался поиском и разведкой нефти и газа в Республике Калмыкия.
Салманов умер 31 марта 2007 года. Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.
События жизни и личность Фармана Салманова легли в основу художественного кинофильма «Стратегия риска» (1978) и образа его главного героя — Фарида Аскерова.
Также о Ф. К. Салманове сняты другие документальные и художественные фильмы, в числе которых «Сибириада».
Ф. К. Салманов — автор фундаментальных научных трудов, посвящённых проблемам формирования и распределения крупных месторождений нефти и газа. Им опубликовано более 160 научных статей и 10 монографий.