Происходил из немецких дворян Австрийской империи. Окончил дворянскую военную академию в Лигнице и вступил в инженерный корпус прусской армии. В начале 1790-х годов был на польской службе. Сражался под командованием Тадеуша Костюшко (1746—1817) и был его адъютантом. При поражении восстания Костюшко в октябре 1794 года попал в русский плен. Перешёл на русскую службу в чине капитана в феврале 1795 года.
Несколько лет провёл в Шкловском кадетском корпусе инспектором классов. В январе 1803 года утверждён экстраординарным профессором военных наук Дерптского университета, где преподавал с большим успехом. Входил в состав Комитета для наблюдения за постройкой университетских зданий. В 1805 г. был избран деканом двух отделений философского факультета. Современники особо отмечали изготовленные им наглядные пособия — фортификационные модели и макеты. В 1809 году изготовил ряд моделей для Кадетского корпуса в Петербурге, за что был награждён орденом Владимира 4-й степени.
Участвовал в Отечественной войне 1812 года. В ноябре 1812 г. был назначен обер-квартирмейстером и полковником армии корпуса маркиза Ф. О. Паулуччи, прикрывавшего Ригу. В 1813—1815 годах был военным комендантом Риги и Кёнигсберга.
В августе 1815 г. Эльснер был определён в инженерный корпус с чином полковника и направлен в главную квартиру русской армии в Париже, откуда в 1816 году вернулся в Санкт-Петербург и был назначен преподавателем военных наук в Императорский Царскосельский лицей и Лицейский Благородный пансион.
Его курс полевой и долговременной фортификации и артиллерии составлял часть физико-математических дисциплин. Эльснер ценил в военном инженере не только добросовестность и дисциплинированность, но и самостоятельность мысли и творческую инициативу:
Эльснер оставил заметный след в памяти лицейских воспитанников первого «пушкинского» курса: он назван в списке «200 нумеров» Михаила Яковлева; Модест Корф и Иван Пущин упомянули его в своих мемуарах. Его педагогический успех несомненен: двенадцать воспитанников первого курса по окончании Лицея вступили в военную службу.
С момента учреждения Главного Инженерного училища (Санкт-Петербург, Михайловский замок) Эльснер был в нём инспектором классов, затем помощником начальника, а с 1828 года и до своей смерти в 1832 году — директором. Под его началом продолжил свое образование Константин Данзас.
Эльснер принял деятельное участие в обсуждении образовательной программы для военных инженеров. Он составил обширную записку, в которой изложил свой взгляд на характер и содержание научного образования в главном инженерном училище. Эльснер считал необходимым сочетание военных наук с гражданскими и считал военное искусство необходимым для лучшего понимания правил фортификации. Придавал большое значение преподаванию математики.
Автор учебника «Полевая фортификация для Главного Инженерного училища» (СПб., 1824). Известно также его сочинение по строительному искусству (оригинал не обнаружен), переведённое на русский язык П. К. Ломновским (1798—1860), преподавателем строительного искусства в училище и будущим начальником контроля Комиссии по строительству Исаакиевского собора.
Имеются отрывочные и противоречивые сведения о семье, детях и потомках Ф. Б. Эльснера. Согласно семейным данным, он был женат дважды. Ревизские сказки г. Тарту за 1816 год и метрическая книга немецкого прихода г. Тарту называют имя первой жены Эльснера: Анна Доротея Бихен (или Узедовска; нем. Anna Dorothea Beehen или von Uzedowsky). Дети от первой жены — Иосиф, Симон, Густав, Фёдор, Александр-Адельберт, Отто, Матильда. Несколько детей умерли в младенчестве. Вторая жена — Мария, урождённая фон Манштейн.
Внук Эльснера Константин Оттович (1853—1915) отличился в русско-турецкой войне 1877—1878 годов.