Родился 11 июня 1925 года в селе Ровенка Воронежской губернии (ныне Добринского района Липецкой области).
После окончания семилетней школы работал в колхозе. В мае 1943 года призван в РККА. С октября 1943 года — на фронте Великой Отечественной войны, наводчик орудия, рядовой. Воевал в Донбассе, на Левобережной Украине, в Крыму, Белоруссии, Прибалтике, Восточной Пруссии.
В мае 1944 года в боях за освобождение Севастополя перед орудийным расчётом рядового Ф. Т. Чиркова была поставлена задача не дать вражеским кораблям уйти в море. Прямой наводкой был подожжён корабль с живой силой. За этот бой рядовой Ф. Т. Чирков был награждён орденом Славы III степени.
Отличился в апреле 1945 года во время штурма Кёнигсберга (ныне Калининград) в бою за форт № 5. Из наградного листа:
Позднее в 1965 году в беседе с учащимися Паршиновской школы Ф. Т. Чирков вспоминал:
После войны вернулся в родные края, работал преподавателем в школе, затем — в колхозе.
Умер 21 июня 1979 года в селе Ровенка Добринского района Липецкой области.
На кладбище в селе Ровенка на могиле установлен памятник. В 1984 году в селе был заложен парк имени Ф. Т. Чиркова.
Имя Ф. Т. Чиркова увековечено на мемориальной доске у форта № 5 в г. Калининграде. В районном центре Добринка Липецкой области установлен бюст.
Памятник на могиле на сельском кладбище.
Мемориальная доска у форта № 5 с именем Ф. Т. Чиркова.