Родился в семье священника села Черницы Новоградволынского уезда Волынской губернии. В 1868 году закончил Волынскую духовную семинарию, после чего продолжил обучение в Московской духовной академии, которую закончил в 1872 году.
По окончании академии был направлен преподавать в город Вильну, где и провёл всю жизнь. С 1872 по 1883 год Ф. Н. Добрянский преподавал греческий язык в Литовской духовной семинарии. В 1876 году Добрянского пригласили в состав Временной комиссии, созданной в связи с Высочайше утверждённым проектом открытия в Вильне Публичной библиотеки, с музеем при ней. Работу в этой комиссии Ф. Н. Добрянский многие годы совмещал с преподаванием в семинарии; впоследствии (в 1902 году) он был назначен председателем этой комиссии.
В 1883 году Ф. Н. Добрянский перешёл из семинарии в Виленский учительский институт, где был назначен преподавателем истории и географии. В 1886 году Добрянского ввели в состав Виленской археографической комиссии, работу в которой он также совмещал с преподаванием в институте. Впоследствии он возглавил и эту комиссию; название его должности в 1902–1913 годах — председатель Комиссии по устройству Публичной библиотеки и Археографической комиссии в Вильне. Добрянский также состоял членом совета Северо-западного отдела Русского географического общества.
В 1914 году Ф. Н. Добрянский был назначен директором Виленского еврейского учительского института. В ходе Первой мировой войны, в 1915 году немецкая армия заняла город. После ухода немецких оккупантов 2 января 1919 года Вильной впервые овладели польские вооружённые формирования. Через три дня, 5 января их выбила из города Красная армия, однако 19 апреля Польша вновь оккупировала Вильну, и таким образом жизнь пожилого русского учёного завершилась в оккупации. 11 октября 1919 года при личном участии Ю. Пилсудского в Вильне был спешно (указ о создании университета Пилсудский подписал 28 августа 1919 года) открыт университета Стефана Батория, куда передали, в том числе, фонды Публичной библиотеки, которые на протяжении десятилетий собирали Ф. Н. Добрянский и его коллеги.
Многие статьи и библиографические заметки Ф. Н. Добрянского опубликованы в «Виленском вестнике». При участии и с предисловиями Ф. Н. Добрянского издано три тома «Актов Виленской Археографической комиссии» (т. XV, 1888; т. XXI, 1894; т. XXVI, 1899).
Ф. Н. Добрянский — автор единственного на русском языке (до Октябрьской революции) путеводителя по Вильне, который неоднократно переиздавался под разными названиями с дополнениями и исправлениями (1883, 1890, 1904 гг.):