Он был сыном ботаника Генриха Готтлиба Людвига Райхенбаха, которому в конце его жизни помогал — а после смерти которого продолжил — издавать величественный ботанический труд — Icones Florae Germanicae et Helveticae.
Уже с 18 лет под руководством отца Генрих Густав начал изучать орхидеи. Как и отец, Райхенбах-сын прошёл курс естественных наук в Лейпцигском университете. В 1852 году он получил учёную степень кандидата наук (диссертация была посвящена пыльце орхидей). Вскоре после защиты диссертации он был утверждён экстраординарным профессором ботаники и одновременно хранителем гербария в Лейпцигском университете.
В 1863 году Райхенбах переехал в Гамбург, где получил кафедру профессора ботаники в Гамбургском университете, а в 1864 году стал ещё и директором ботанического сада в Гамбурге (нем. Botanischen Gartens in Hamburg).
В последней трети XIX века из Южной Америки и Азии в Европу хлынул поток новообнаруженных видов орхидей, и Райхенбах идентифицировал, описывал и классифицировал множество из этих видов, проделав при этом огромную черновую работу. Однако, по отзывам современных ему ботаников, ряд его систематических записей были поверхностными, приведя в дальнейшем к некоторому таксономическому беспорядку в семействе Орхидные.
Образцы новых орхидей со всех континентов посылали ему для идентификации, и они, вместе с его обильными примечаниями и рисунками, сформировали огромный гербарий, который конкурировал с гербариумом Линдли в Кью
После смерти в 1865 году друга Райхенбаха Джона Линдли, «отца современной науки об орхидеях», Райхенбах занял его место крупнейшего в мире эксперта по орхидеям.
Тем не менее, Орхидариум Королевских ботанических садов в Кью пригласил к сотрудничеству в качестве ведущего систематика не Райхенбаха, как предполагал он сам, а мало кому в то время известного Роберта Ролфе (англ. Robert Allen Rolfe). Райхенбах негодовал и в возмущении завещал свой огромный гербарий и библиотеку не Садам в Кью (как ранее предполагалось), а Музею естественной истории в Вене, при условии, что музей не будет консультироваться с Кью по вопросам орхидей в течение 25 лет после его смерти. В конечном счёте это привело к ещё большей путанице в систематике орхидей, к большому числу двойных или тройных описаний одних и тех же видов орхидей, которые впоследствии пришлось с большим трудом исправлять.
В 1886 году Генрих Зандер (англ. Henry Frederick Conrad Sander, нем. Heinrich Friedrich Conrad Sander) привлёк художника Генри Муна (англ. Henry Moon) (1857—1905) к работе по созданию ботанических иллюстраций орхидей с описаниями Райхенбаха. В 1888—1894 годах были созданы 192 листа. Мун рисовал орхидеи с натуры, пользуясь коллекцией Зандера, потом переводил рисунок в гравюру, печатал оттиски, затем каждый гравюрный оттиск раскрашивался акварелью от руки. По мере их создания они печатались в течение 6 лет ежемесячно. Это издание сейчас известно как Reichenbachia и является самым богатым когда-либо созданным справочным источником по орхидеям.
После смерти Райхенбаха его работы были продолжены Фридрихом Вильгельмом Людвигом Кренцлином (нем. Friedrich Wilhelm Ludwig Kraenzlin) (1847—1934).
f. (или fil., от лат. filius — сын) добавляются к его ботанической аббревиатуре при описанных им таксонах, чтобы отличить от отца, Генриха Готлиба Людвига Райхенбаха, ботаническое сокращение имени которого — Rchb.
В честь Райхенбаха-сына в 1881 году Жоан Барбоза Родригес (порт. Jo?o Barbosa Rodrigues) назвал род растений Райхенбахантус (Reichenbachanthus Barb.Rodr.) семейства Орхидные.