Семикратный чемпион СССР, двукратный чемпион мира и Олимпийских игр. Заслуженный мастер спорта СССР (1952). Судья международной категории (1957). Заслуженный тренер Армянской ССР (1961). Заслуженный деятель физической культуры и спорта Армянской ССР (1966).
Грант Шагинян родился в селе Гюлагарак Степанаванского района Армянской ССР.
В 1930 году его семья переехала в Ереван, где он начал заниматься спортивной гимнастикой под руководством Арутюна Гаргалояна. В 1939 году стал абсолютным чемпионом СССР среди юношей.
С началом Великой Отечественной войны Грант Шагинян записался добровольцем на фронт, в 1943 году был серьёзно ранен в ногу. Возобновить занятия гимнастикой смог только в 1946 году. В 1948 году он стал чемпионом СССР в вольных упражнениях, а в 1949 и 1951 годах — на коне. В 1952 году завоевал звание абсолютного чемпиона СССР.
Первым крупным успехом Гранта Шагиняна на международных соревнованиях стало его выступление в 1949 году на втором Всемирном фестивале молодёжи и студентов в Будапеште. Он выиграл шесть золотых медалей гимнастического турнира, причём получил максимальную оценку в 10 баллов сразу на четырех снарядах.
На дебютных для советских спортсменов Олимпийских играх в Хельсинки Грант Шагинян завоевал две золотые и две серебряные медали. Наиболее впечатляющим было его выступление на коне, в конце которого он впервые выполнил соскок, впоследствии вошедший в международную терминологию как «вертушка Шагиняна». В 1954 году Грант Шагинян успешно выступил на чемпионате мира в Риме, став победителем этих соревнований в упражнениях на коне и командном первенстве, а также завоевав бронзовую медаль в многоборье.
В 1958 году завершил спортивную карьеру и стал директором созданной по его инициативе первой в Армении ДЮСШ по спортивной гимнастике.
В 1967-1969 годах возглавлял Спорткомитет Армянской ССР, а в 1969-1975 годах был заместителем председателя Спорткомитета. В 1975-1980 годах работал главным тренером сборной Сирии по спортивной гимнастике.