Хачатур Кяпанакцян начал заниматься тяжёлой атлетикой в 1980 году под руководством Вагана Бичахчяна. В 1990 году стал серебряным призером чемпионата СССР и обладателем Кубка СССР. С 1993 года входил в состав национальной сборной Армении. В 1993 году стал чемпионом Европы, а в 1994, 1995, 1998 годах становился призёром чемпионатов Европы. На Олимпийских играх в Атланте Хачатур Кяпанакцян выиграл соревнования в рывке, но не смог реализовать все три попытки в толчке.
В 2000 году завершил спортивную карьеру. В 2005-2007 годах был тренером национальной сборной Армении по тяжёлой атлетике. В ночь с 29 на 30 сентября 2007 года Хачатур Кяпанакцян погиб в автокатастрофе на трассе Гюмри-Ванадзор.
В 2008 году армянский тяжелоатлет Тигран Мартиросян посвятил свою победу на чемпионате Европы в Линьяно памяти Хачатура Кяпанакцяна.