Шукюр до 2008 года выступал за «Галатасарай», в котором провёл более 10 сезонов. В 2000 году он перешёл в миланский «Интер», затем играл в «Парме» и английском «Блэкберн Роверс», после чего в 2003 году вернулся в стамбульский клуб. В 2008 вместе с другим прославленным ветераном Оканом Буруком покинул клуб (о своём уходе из клуба Хакан объявил ещё в ноябре 2007).
На Чемпионате мира 2002 года национальная сборная Турции, в которой играл Шукюр, дошла до полуфинала турнира, где уступила будущим чемпионам, бразильцам. Несмотря на то, что сам Шукюр был не в оптимальной форме, свой талант он продемонстрировал в матче за 3-е место, забив сборной Южной Кореи самый быстрый гол в истории чемпионатов мира уже через 10,8 секунды после начала игры.
Свой сотый матч за национальную сборную Шукюр сыграл в отборочном турнире к чемпионату мира 2006 года против Украины. Он третий турецкий футболист, добившийся такого результата — после Бюлента Коркмаза и Рюштю Речбера.
Его популярность и известность в Турции настолько велики, что его свадьбу в 1995 году показывали по телевидению в прямом эфире.
В июне 2011 года Шукюр вошёл в парламент Турции от Партии справедливости и развития.