Йелинек вначале изучал музыкальную композицию на специальном семинаре, затем — в начале 1920-х годов — учился в Музыкальной академии в Вене, где среди его преподавателей были Арнольд Шёнберг и Альбан Берг (курс не окончил). Позднее Йелинек живёт как свободный композитор в Вене, выступает как пианист в барах и кинотеатрах, пишет лёгкую музыку под псевдонимим Ханс Элин. В 1958 году он начинает преподавать в Высшей школе музыки в Вене, с 1965 года — профессор.
Йелинек писал преимущественно оперетты, симфонии, музыкальные сюиты, каноны, шлягеры и музыку для кинофильмов. В его произведениях чувствуется влияние А.Шёнберга. Автор ряда теоретических трудов по музыкальному творчеству.