Хасан родился в мусульманской боснийской семье. Его отца зовут Ахмед, мать - Сефика, также у Салихамиджича есть старшая сестра. После окончания школы он играл в местной футбольной команде. Затем он подписал контракт с клубом «Вележ Мостар» и проиграл в клубе до 1992 года. В те годы Хасан играл за юниорскую сборную Югославии.
В ноябре 1992 года Салихамиджич, накопив достаточно денег, переехал в Гамбург. Благодаря связям своего двоюродного брата Ахмеда Халилходжича, его взяли в молодёжную команду ФК «Гамбург».
В Гамбурге Хасан выступал до 1998 года до перехода в мюнхенскую «Баварию».
Сыграв 9 сезонов за «Баварию», летом 2007 года Салихамиджич на правах свободного агента перешёл в «Ювентус».
По окончании сезона 2010-2011 покинул «Ювентус» и 4 июля 2011 года стало известно, что он на правах свободного агента перешел в немецкий «Вольфсбург», подписав с "волками" однолетний контракт.