Хайнц Шилхер начал свою карьеру в клубе «ВСВ», но позже в 1965 году попал в «ГАК», но в клубе за четыре года так и не появился на поле. В 1969 году, Хайнц перешёл в «Штурм» из Граца, но и там Шилхер не появлялся в основном составе, и изредка выходил на замену. По-настоящему карьера Хейнца началась в амстердамском «Аяксе», именно в «Аяксе» Хайнц завоевал первые титулы. В период с 1971 по 1973 год, Шилхер дважды завоёвывал кубок Чемпионов в 1972 и 1973, стал двукратным чемпионом Нидерландов (1972, 1973), и двукратным обладателем кубка Нидерландов (1971, 1972).
Дебют Хайнца в сборной Австрии состоялся в матче против сборной Нидерландов, 18 марта 1973 года, матч закончился победой Австрии 1:0.
Из «Аякса» Хайнц отправился во Францию, в клуб первого дивизиона «Париж», но затем в том же 1974 году перешёл в клуб второго дивизиона «Олимпик» из города Ним, в «Олимпике» Хайнц выступал до 1976 года. В 1976 году, перейдя в «Страсбур», Хайнц стал чемпионом второго французского дивизиона, и продвинулся с командой в первый дивизион, в котором ещё выступал один год. После 7 лет проведённых за границей Шилхер решил вернуться в Австрию, в «Штурм», клуб который не много дал в начале его карьере. В четырёх сезонах за «Штурм» Хайнц был неизменным игроком основы, с 1978 по 1982 год Шилхер провёл 129 матчей, в которых трижды поражал ворота соперников. Завершив карьеру игрока, Хайнц был тренером французского «Страсбура» в 1986 году.