Хоакин Богоссян родился в Монтевидео 19 июня 1987 года, где и начал свою карьеру в клубе «Серро». В 2005 году он дебютировал в первом дивизионе и 4 года спустя, благодаря своему большому таланту и бомбардирским способностям, переехал в Аргентину. В уругвайской Примере 2009 года он забил 23 мяча в 55 матчах и помог клубу «Серро» квалифицироваться в Кубок Либертадорес через Кубок Артигаса, став его лучшим бомбардиром.
В 2009 году он перешёл в «Ньюэллс Олд Бойз». В аргентинском чемпионате Богоссян забил 11 мячей в 18 матчах, став лучшим бомбардиром команды и одним из лучших в чемпионате.
Уругвайский нападающий армянского происхождения завоевал любовь болельщиков за выдающуюся игру головой и прекрасное голевое чутье.
Летом 2010 года, после аренды в «Ньюэллс Олд Бойз», Богосян перешел в австрийский «Ред Булл Зальцбург», чемпиона австрийской бундеслиги, с которым подписал 4-летний контракт. Однако за сезон, проведённый в Зальцбурге, Богоссян не показал активности, которая присутствовала за время выступления в предыдущем клубе. В 18 матчах был забит лишь один мяч. Посему у руководства возникло желание отправить игрока в аренду.
Услугами Богоссяна были заинтересованы такие клубы как парагвайская «Олимпия», уругвайский «Насьональ» и греческий ПАОК. Позже появилась информация из ряда уругвайских СМИ о том, что игрок скорее перейдёт в ПАОК. Клуб предложил 350 000 евро и годичный контракт с сохранением той зарплаты, которую Богоссян получал в составе «Ред Булла». Информация оказалась недостоверной, а сам Богоссян перешёл в «Насьональ».
В 2007 году Богоссян сыграл за молодежную сборную Уругвая до 20 лет. А в сборную Уругвая он не попал из-за сильных конкурентов нападающих, таких как: Диего Форлан, Луис Суарес и Эдинсон Кавани. По его словам если главный тренер сборного Уругвая не позовет его на ЧМ-2010 в Южной Африке, то он будет играть за национальную сборную Армении.