Родился в Мар-дель-Плате, в квартале La Perla. Начинал карьеру в местной команде «Индепендьенте». В 1928 году перешёл в «Химнасию» из Ла-Платы, за которую выступал семь сезонов. На следующий год выиграл в составе «Химнасии» чемпионат страны. Команда «Химнасии» образца 1933 года, которая была близка к победе в чемпионате, но в итоге стала лишь четвёртой во многом из-за судейства, в которой одну из ведущих ролей играл Минелья, вошла в историю аргентинского футбола под названием «Экспресс» (El Expreso). В то время среднюю линию «Ла-Платы» составляли «Три M» — Минелья, Монтаньес и Мигес, это была одна из сильнейших средних линий в аргентинском футболе тех лет; в атаке клуба блистал Артуро Наон, забивший в сезоне-1933 33 мяча.
Перед началом сезона 1935 года его приобрёл за 37,5 тыс. песо (рекордная на тот момент трансферная сумма в стране) клуб «Ривер Плейт», в котором Хосе и провёл свои наиболее успешные годы. Это было время знаменитой «Машины» (La M?quina) — пятёрки форвардов «Ривера» Муньос — Морено — Педернера — Лабруна — Лоустау. Помимо них, в клубе было ещё немало отличных игроков, таких как Минелья, Карлос Пеуселье, Бернабе Феррейра, Норберто Яконо и др. За 7,5 сезонов, проведённых Минельей в клубе, «Ривер» шесть раз попадал в тройку лучших команд чемпионата страны, из них трижды становился чемпионом страны.
В 1942 году Минелья уехал в Уругвай играть за «Пеньяроль». В составе этого клуба он провёл два сезона, в обоих его клуб становился в первенстве вторым, уступая принципиальному сопернику — «Насьоналю». Последним клубом футболиста Минельи стал чилийский «Грин Кросс», в котором он провёл сезон 1944 года.
За сборную Аргентины в 1933—1941 гг. провёл 24 матча, забил 1 гол. Участвовал в её составе в трёх чемпионатах Южной Америки (1935, 1937, 1941). Из 13 матчей команды в этих трёх розыгрышах он выходил на поле 11 раз и был одним из ведущих полузащитников. На ЧЮА-1935 его команда стала второй, уступив уругвайцам, а два других турнира выиграла.
В 1945 году, вскоре по возвращении из Чили, Хосе Мария Минелья возглавил «Ривер». К этому времени на место одних великих игроков «Ривера» пришли другие, но оставались и некоторые из тех, вместе с кем выходил на поле Минелья. Под руководством Минельи играли: Муньос, Педернера, Лабруна, Лоустау, Яконо, Альфредо ди Стефано, Омар Сивори, Нестор Росси, Амадео Каррисо, Федерико Вайро, Владислао Кап, Хосе Рамос Дельгадо, Хосе Варака, Вальтер Гомес и многие другие. За 15 лет во главе клуба Минелья семь раз становился чемпионом Аргентины. В 1959 году он оставил свой пост, ненадолго вернувшись в 1963 году.
В 1964—1965 гг. Минелья тренировал сборную Аргентины. С ней он выиграл в 1964 г. Ta?a das Na??es (Кубок наций) — турнир 4-х команд, организованный Бразильской конфедерацией футбола к 50-летию этой организации; аргентинцы оставили позади бразильцев, за которых выступали такие звёзды, как Пеле, Жаирзиньо и Жерсон, и сильные сборные Англии и Португалии. В 1968 году являлся исполняющим обязанности тренера сборной, проведя с ней всего одну игру, ставшую в его тренерской карьере последней.
Стадион, построенный в Мар-дель-Плате к ЧМ-1978, был назван в его честь (), к этому времени Минелья ещё был жив. Через три года он умер.