Пицци начал свою профессиональную карьеру в клубе «Росарио Сентраль», откуда уехал в мексиканский клуб «Толука». После удачно проведённого сезона в Мексике, Хуан Антонио отправился в Испанию. Его новым клубом стал «Тенерифе», в котором он за два сезона забил 30 мячей в ворота соперников. Также, он помог своей команде получить право на участие в Кубке УЕФА.
В связи с успешным выступлением за «Тенерифе», игроком заинтересовалась «Валенсия». Однако, после не самого успешного сезона за «летучих мышей», Хуан Антонио вернулся в «Тенерифе».
Вернувшись в столицу Канарских островов, футболист, вновь, начал поражать всех своей результативностью. Проведя за клуб 41 встречу, он забил 31 мяч и был претендентом на золотую бутсу.
После двух успешных сезонов, Пицци перешёл в «Барселону». Закрепиться в основном составе, гранда европейского футбола, ему так и не удалось. Хуан Антонио проиграл конкуренцию Роналдо, Сонни Андерсону и универсалу Луису Энрике. За два сезона он отметился 11 забитыми мячами, но, несмотря на это, стал популярен среди болельщиков клуба.
В «Барселоне» он выиграл Суперкубок Испании в 1996 году, Кубок УЕФА и Суперкубок УЕФА в 1997 году. Также, вместе с командой, он завоевал свой единственный чемпионский титул. Возможно, наиболее ярким моментом его карьеры в «Барселоне», стала встреча против «Атлетико Мадрид», где Пицци провёл победный мяч в ворота соперника.
Впоследствии, Хуан Антонио возвратился в Аргентину, где начал выступать за «Ривер Плейт». Спустя некоторое время, Пицци вернулся в «Росарио Сентраль», откуда через год перебрался в «Порту». Вследствие блеклого выступления в Португалии, футболист вернулся в «Росарио Сентраль». Однако, в 2002 году Пицци, вновь, покинул команду, на этот раз, подписав контракт с «Вильярреалом», который искал замену травмированному Мартину Палермо.
Пицци дебютировал за национальную команду Испании 30 ноября 1994 года, в товарищеской встрече против Финляндии.
Вместе со сборной Испании, Хуан Антонио участвовал на Чемпионате Европы 1996 и Чемпионате Мира 1998. После нулевой ничьи во встрече с Парагваем, футболист принял решение, завершить выступления за национальную команду.
Итого: 22 матча / 8 голов; 13 побед, 8 ничьих, 1 поражение.
(откорректировано по состоянию на 19 июня 1998)
После завершение карьеры, Пицци увлёкся игрой в поло. Спустя некоторое время, Хосе Антонио начал тренировать аргентинский клуб «Колон», вместе с перуанцем Хосе дель Соларом. Однако они оба были уволены, после трёх поражений в стартовых турах чемпионата Клаусуры.
13 апреля 2006 года, Пицци возглавил перуанский «Универсидад Сан-Мартин». Покинул клуб 26 ноября того же года.
С 2009 года, Хуан Антонио Пицци руководит клубом «Сантьяго Морнинг».