Гарри Хейс был сыном английских иммигрантов, которые приплыли в Аргентину на судне, перевозившем уголь. Гарри родился 1 января 1891 года в городе Росарио. Его детство прошло в районе Арройито, где жили семьи иммигрантов, там же он начинал играть в футбол.
В детском возрасте Хейс начал играть за команду «Центральный Железнодорожный и Крикетный клуб». В 1906 году Хейс впервые выступил на взрослом уровне, проведя 1 матч за команду «Химнасия и Эсгрима» против «Ньюэллс Олд Бойз». В 1907 году Хейс дебютировал во взрослой команде «Центрального Железнодорожного и Крикетного клуба», который уже поменял название на «Росарио Сентраль». Хейс выступал за «Сентраль» до окончания своей карьеры, выиграв с клубом 7 Кубков Никасио Вилы, высшего титула футбольной лиги Росарио и ещё 5 разнообразных кубков.
5 июня 1910 года Хейс дебютировал в сборной Аргентины на Кубке Столетия майской Революции, неофициальном Чемпионате Южной Америки, в первой игре забив 2 мяча в ворота сборной Чили. Всего за Аргентину Хейс провел 21 матч и забил 8 мячей, выиграв серебро на первом Чемпионате Южной Америки и матчи Кубка Липтона.