Родился в деревне Пушкарка Арзамасского района Горьковской области. После окончания школы в Горьком в 1934 году поступил в Горьковский политехнический институт им. А. А. Жданова (1934—1938 гг.), по окончании получил квалификацию судостроителя-теплотехника.
С 1939 по 1942 годы — начальник группы конструкторского бюро Сталинградской судостроительной верфи (завод № 246).
С 1942 работал в городе Горьком на заводе № 92 (Горьковский машиностроительный завод — ГМЗ):
За разработку и пуск диффузионных заводов, обеспечивших производство высокообогащенного урана в 1953 году ему присуждена Сталинская премия, в 1958 году — Ленинская премия.
И. И. Африкантов руководил работами по проектированию 9 промышленных уран-графитовых реакторов и 5 тяжеловодных реакторов. Он возглавлял работу ОКБМ по проектированию и освоению производства первого в мире энергетического реактора на быстрых нейтронах с натриевым теплоносителем БН-350 и БН-600.
Именем И. И. Африкантова в 1998 году назван ФГУП «ОКБМ» (ныне Федеральный научно-производственный центр атомного машиностроения).
За создание реакторной установки первого атомного ледокола «Ленин» И. И. Африкантову в 1960 году было присвоено звание Героя Социалистического Труда.
Награждён тремя орденами Ленина (1951, 1959, 1960), орденами Трудового Красного Знамени (1954), Красной Звезды (1945), «Знак Почёта» (1944), медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941—1945 гг.».