Заниматься фигурным катанием привела мать в 5 лет. Первый тренер — В. Громов. Затем тренировался у В. Н. Кудрявцева. Первая значительная победа — в 13 лет, в Норвегии, на соревнованиях «Piruetten Juniors competition» в 1990 году. В 1994 году выиграл чемпионат России среди юниоров. На чемпионате России в декабре 1994 года занял 2-е место и попал в сборную страны. Произвел сенсацию на чемпионате Европе 1995, дебютировав, сразу стал чемпионом. Его основной соперник, Алексей Урманов, допустил ошибку в короткой программе и занял 6-е место, что позволило Кулику обыграть его в итоге, несмотря на второе место в произвольной.
С сезона 1995/96 годов тренер Т. А. Тарасова помогла поставить программы, значительно усложнив хореографию, перенасытив её связующими элементами. Чемпионат Европы 1996 Кулик проиграл, не справившись с произвольной программой, однако на чемпионате мира 1996 года выполнил её (в том числе два прыжка тройной аксель), став серебряным призёром, проиграв одним судейским голосом.
С середины мая 1996 перешёл от В. Н. Кудрявцева к Т. А. Тарасовой. Сезон 1996/97 прошёл относительно неудачно. В 1998 году Т. А. Тарасова поставила максимально сбалансированные программы, предельно сконцентрировав Кулика на главный старт — Олимпийские игры (чемпионат Европы 1998 был пропущен), что позволило ему стать олимпийским чемпионом. В короткой программе в авангардном стиле на музыку Ж.-М.Жарра, Кулик выполнил чисто каскад тройной аксель — тройной тулуп, захватил лидерство. В исключительно гармоничной произвольной программе, с изящной хореографией на музыку Дж. Гершвина, с удачно вписанными элементами, Кулик, единственный из всех участников абсолютно чисто выполнил все прыжки, в том числе единственный из лидеров и впервые в своей карьере на международных соревнованиях четверной прыжок — тулуп, два тройных акселя (один в каскаде с тройным тулупом), а также пять тройных прыжков.
С 1999 начал профессиональную карьеру, сохранив сложность программ, смог выиграть турниры «Champions on Ice» и «Stars on Ice». В 2000 году снялся в одной из ролей в фильме «Center Stage».
В 1999 году году закончил Российскую государственную академию физической культуры.
10 июня 2002 года в Сан-Франциско женился на Екатерине Гордеевой, а 15 июня 2001 года у пары родилась дочь Лиза Кулик. Несколько лет (с 2003-2007) они жили в штате Коннектикут в городе Эйвон. Летом 2007 переехали в Калифорнию в город Ньюпорт-Бич.