Иосиф Недзвецкий родился в рабочей семье в Могилёве 23 июня 1908 года.
Детство Недзвецкого прошло в детдоме. Окончив начальную школу, работал сначала на строительстве железной дороги, затем слесарем на заводе «Онего» в Петрозаводске. В 1930—1934 годы служил в Красной Армии. С 1934 по 1937 год принимал участие в арктических экспедициях, работал машинистом ледокола «Ермак».
С августа 1937 по январь 1940 года, являясь машинистом на пароходе ледокольного типа «Георгий Седов», стал невольным участником легендарного дрейфа по Северному Ледовитому океану, в ходе которого проявил себя мужественно и стойко.
3 февраля 1940 года Президиумом Верховного Совета СССР был выпущен указ о присвоении машинисту парохода ледокольного типа «Георгий Седов» Недзвецкому Иосифу Марковичу звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 235) за «… проведение героического дрейфа, выполнение обширной программы исследований в трудных условиях Арктики и проявленное при этом мужество и настойчивость» и выдаче денежной премии в размере 25000 рублей.
Вернувшись на материк, герой поступил учиться в Промакадемию, но отучиться успел только один курс — началась Великая Отечественная война и Иосиф Маркович ушёл на фронт. После войны Недзвецкий вновь вернулся работать на суднах «Главсевморпути».
До гибели 26 декабря 1959 года занимал должность начальника полярной станции на мысе Арктический.
Похоронен в Москве на Ваганьковском кладбище.