Тотемский мещанин.
В 1787 достиг Иркутска, 20 мая 1790 года заключил контракт с каргопольским купцом А. А. Барановым, жившим в Иркутске, о морском вояже к американским берегам в компанию Голикова и Шелихова. С 1790 управляющим всех заокеанских территорий Шелихова стал каргопольский купец А. А. Баранов. Компания вела торговлю, проводила мероприятия по закреплению за Россией открытых земель.
Кусков оставался за правителя на Кадьяке (1796 и 1800), в Ново-Архангельске (1806—1808), был начальником Константиновской крепости в Нучеке (1798—1799), управлял русским поселением в заливе Якутат (1802—1803), возглавлял экспедиции от залива Якутат до острова Ситха (1801—1802).
В 1821 году И. А. Кусков вышел в отставку и 4 июля 1823 вернулся на родину в Тотьму.
Похоронен на территории Спасо-Сумморина монастыря. Точное место не установлено, на месте предполагаемого захоронения стоит деревянный крест и лежит якорь.
По замыслу Резанова и Баранова основано русское селение и Форт-Росс в Калифорнии, на севере от бухты Сан-Франциско, в 18 милях к северу от залива Бодега (30.08.1812).
Кусков назначен правителем крепости (до конца 1821). В колонии были заведены огороды, развито скотоводство, имелась судоверфь. Между представителем компании и вождями индейских племен составлен договор (юридически закреплял передачу русских владений в Калифорнии в собственность Российско-Американской компании).