Иван Евтеев родился в 1918 году в селе Вязовка Саратовской губернии (ныне Татищевский район Саратовской области). Окончил семилетнюю школу и школу трактористов, после чего работал в колхозе.
В 1938 году был призван на срочную службу в РККА. Попал на Черноморский флот где служил в морской пограничной охране, затем был переведён в отдельный батальон морской пехоты охранявший Одесскую базу флота.
В период войны, с начала до своей гибели 27 марта 1944 года, воевал в составе частей Южного, Крымского, Северо-Кавказского, 4-го и 3-го Украинских фронтов. Принимал участие в обороне Одессы, Севастополя, Новороссийска, освобождении Северного Кавказа, Крыма и Украины.
В апреле 1943 года матрос Евтеев был направлен на должность бронебойщика в сформированный 384-й отдельный батальон морской пехоты Черноморского флота.
За отличие в боях Иван Алексеевич Евтеев был награжден орденом Отечественной войны 2-й степени (1943), медалями «За оборону Одессы» и «За оборону Севастополя».
Похоронен в братской могиле в городе Николаев в сквере 68-ми десантников.
Звание Героя Советского Союза Ивану Алексеевичу Евтееву присвоено посмертно 20 апреля 1945 года, за мужество и героизм проявленные при десантной операции в порту города Николаев, известной в истории как Десант Ольшанского.
Высадившиеся в порту десантники заняли здания нового элеватора и двухэтажную контору порта. Позиция Евтеева была на первом этаже конторы. На рассвете 26 марта гитлеровцы обнаружили десантников и подтянули значительные силы. Завязался ожесточенный бой который продолжался более суток. Одна за другой накатывались атаки неприятеля, в одной из атак Евтеев уничтожил вражеский пулемёт, а 27 марта Иван Евтеев огнем из бронебойного ружья уничтожил вражеский танк.