Родился в Сухуми, в семье греков. Окончил факультет журналистики МГУ.
В 1991 году основал «Росбизнесбанк» и возглавил его, считался одним из богатейших людей России.
В 1992 году — член Совета по предпринимательству при Президенте Российской Федерации
Вице-президент Лиги кооператоров и предпринимателей России, генеральный директор ВЭА «Интерагро» и ВО «Внешэкономкооперация».
С 12 августа 1994 года заместитель координатора Совета по промышленной политике и предпринимательству при Правительстве Российской Федерации Олега Сосковца. В начале 1990-х годов всячески популяризировал себя, постоянно появляясь в различных программах телевидения.
В 1995 году отравлен путём нанесения на трубку телефона в его кабинете отравляющего вещества. Позднее этим же веществом отравились его секретарша Зара Исмаилова и эксперт, вскрывший тело Кивелиди. По подозрению в его отравлении был задержан, вскоре отпущен, а летом 2006 года вновь задержан и осуждён на 9 лет Владимир Хуцишвили, бывший партнёром Кивелиди по бизнесу.
Дело об убийстве Кивелиди Замоскворецкий суд Москвы рассматривал в закрытом режиме, так как значительная часть материалов дела была засекречена. Согласно версии суда, Хуцишвили устранил Кивелиди из личной неприязни и зависти к успехам делового партнера.
Название и состав отравляющего вещества так и не были обнародованы, за исключением того, что это было редкое вещество нейротоксического действия. Редкость вещества позволила следователям выйти на предприятие-изготовитель, оказавшееся секретным оборонным НИИ закрытого городка Шиханы Саратовской области. Учёный, синтезировавший и продавший это вещество, впоследствии осуждён на год условно.