Происходил из древнего рода кахетинских князей Андроникашвили. Сын князя Мелхиседека (Малхаза, 1773—1822) и его жены царевны Мариам Арчиловны (1775—1854), дочери царевича Арчила и племянницы имеретинского царя Соломона I, сестры имеретинского царя Соломона II; бабка его, царевна Елена, была дочерью царя Грузии Ираклия II.
Службу начал в 1817 году юнкером в лейб-гвардии Конном полку, откуда, семь лет спустя, в чине майора перевелся на Кавказ, вступив в ряды Нижегородского драгунского полка.
Здесь вскоре представился для него случай боевых отличий: возгоревшаяся в 1826 г. война с Персией поставила Андронникова ближайшим участником военных действий. В сражении при Елизаветполе, в то время, когда на левом фланге и в центре наши войска уже могли торжествовать победу, на правом фланге нам грозило поражение. Персидские войска, опрокинув два слабых казачьи полка, уже обходили линию наших войск, когда Андронников получил приказание своим дивизионом нижегородцев атаковать обходную персидскую колонну. Андронников обскакал неприятеля справа и ударил на него во фланг. По словам очевидцев, «это была одна из самых стремительных, бурных атак, — и все, что попало под этот несущийся ураган, было смято и стоптано. Эскадроны Андронникова врезались в самую середину неприятельских войск и произвели в них страшное опустошение». «Только гористая, изрытая оврагами, местность, — доносил потом командир Нижегородского полка полковник Шабельский, — спасла неприятеля от истребления и не дозволила нанести ему такой вред, какой бегущая и расстроенная пехота должна была ожидать от кавалерии». Напрасно Андронников пытался ещё раз обскакать неприятеля, чтобы замедлить его бегство и подставить под удар нашей пехоты. Местность была адская и только уже перед самым Куракчайским ущельем Андронникову удалось, наконец, отрезать часть вражеских батальонов и изрубить их в рукопашной схватке. Таким образом успех был обеспечен по всей линии. За это дело Андронников был награждён орденом св. Владимира 4-й степени с бантом.
В кампанию 1827 г. против персидских войск Андронников отличился в бою при Джеван-Булахе, где его 1-й дивизион, вместе со 2-м дивизионом Нижегородцев, в решительную минуту опрокинули огромную конную массу персов и, прорвав центр их боевого порядка, кинулись на каменистую гору, где под сенью особого «победного» знамени главнокомандующий персидской армией, принц Аббас-Мирза, наблюдал за ходом боя. Аббас-Мирза едва ускакал от наших драгун, но знамя и шесть знатных вельмож его свиты, среди которых был ближайший помощник главнокомандующего Наджав-хан, после рукопашной схватки, в которой Андронников был ранен пулей в голову, были взяты в плен. За это дело Андронников был награждён орденом св. Анны 2-й степени. Рана не помешала Андронникову участвовать во взятии в том же году крепостей Сардар-Абад и Эривань, за подвиги под стенами которых он был произведен в подполковники.
Едва закончилась война с Персией, началась с Турцией — и Андронников во главе своего 1-го дивизиона Нижегородцев очутился под стенами Ахалцыхе.
Здесь 5 августа 1828 г. внезапно разыгрался горячий кавалерийский бой, который окончился для нас победой единственно благодаря доблести Андронникова. Прикрытый со стороны Ахалцыха сильным редутом, лагерь осадного корпуса не был обеспечен с левого фланга. Чтобы обезопасить его, Паскевич приказал батальону егерей заложить редут на правом берегу реки в стороне деревни Марда. Турки потеснили егерей, на помощь последним двинуты были Нижегородские драгуны, которые прогнали турок. Преследуя их, 2-й эскадрон зарвался, потерял связь с полком и был окружен тысячными толпами турок. Гибель его казалась неизбежной. Заметив критическое положение своего 2-го эскадрона, Андронников, под первым впечатлением, один помчался к нему, был окружен турками и едва не попался в плен. Пробившись назад, он подхватил 1-й эскадрон с 2-мя орудиями и понесся на выручку. Произошёл короткий, но горячий бой — турки бежали, оставив в руках Нижегородцев два знамени. За это дело Андронников был произведен в полковники, а за участие во взятии Ахалкалаки награждён алмазными знаками к ордену св. Анны 2-й степени.
Временно командуя Нижегородским драгунским полком в кампанию 1829 г., Андронников особенно отличился при взятии укреплений Байбурта. Вызванный с полком из резерва против турецкой конницы, прикрывавшей передовые укрепления, Андронников смел её бешеной атакой, пронесся через укрепленный лагерь турецкой пехоты, захватил на своем пути батареи и редуты и ворвался в самый город. «Не прошло 10 минут от начала атаки, — говорит историк Нижегородского полка, — как вся линия городских укреплений, с редутами и батареями, пала под ударом 6 эскадронов драгун».
6 августа 1830 г. Андроников был награждён орденом св. Георгия 4 -й степени
Назначенный Паскевичем в том же 1829 г. командиром Нижегородского драгунского полка, Андронников едва успел довести полк до штаб-квартиры в Кара-агаче (в марте 1830 г.), как вынужден был покинуть его. Дело в том, что тогдашний военный министр граф Чернышёв сообщил Паскевичу, что в Санкт-Петербурге предполагается назначить командиром Нижегородского драгунского полка подполковника Доброва. Паскевич, желая угодить Чернышёву, сейчас же предложил Андронникову взять кавалерийский полк в России. Обиженный Андронников ответил, что предпочитает заняться устройством личных дел — и был зачислен по армии. В этом положении он пробыл 19 лет, в течение которых неоднократно, по собственному желанию, принимал участие в экспедициях.
Так, в 1837 г. он был в походе против горцев на Лезгинской линии; в 1840 г. командовал отдельным отрядом, усмирявшим Осетию, причем взял с боя до 50 укрепленных аулов и самые опасные из них Таби и Бечьянет-Кари; в 1841 г. участвовал в Дагестанском походе генерала Головина и за особые отличия был произведён в генерал-майоры; в 1847 г. за отличия при штурмах Гергебиля и Салты награждён орденом св. Станислава 1-й степени.
В 1849 г. князь Андронников по настоянию графа Воронцова был назначен военным губернатором в Тифлис и управляющим гражданской частью в губернии.
Из его деятельности на административном поприще следует отметить бескровное усмирение волнений в Ахалцыхе и мятежа в Южной Осетии, где восстали крестьяне против своих помещиков. Хотя в Осетию и были двинуты войска, но Андронникову удалось мирно покончить дело, склонив к уступкам помещиков.
Оставаясь до 1856 г. в должности губернатора, князь Андронников не устранял себя и от боевой деятельности: с началом Крымской войны в 1853 г., получив в командование Ахалцыхский отряд, он одержал 14 ноября первую в войну победу над турками, нанеся под Ахалцыхом со своим 5-тысячным отрядом полное поражение 20-тысячному корпусу Али-паши и захватил 5 знамен, 18 значков, 11 орудий, все артиллерийские припасы и весь турецкий лагерь.
За эту победу Андронников 30 ноября 1853 г. был награждён орденом св. Георгия 3-й степени № 475
В июне 1854 г. Андронников за р. Чолоком вторично нанес туркам серьёзное поражение, истребив с 10-тысячным отрядом 30-тысячный корпус Селима-паши, захватив всю артиллерию (15 орудий), 35 знамен и значков, три лагеря со всем имуществом, парками и магазинами.
За Чолок он был награждён орденом св. Александра Невского.
Однако, по оценкам современников, указанные «победы были не столько следствием обдуманных соображений и зрелой с его стороны распорядительности, сколько счастья, стойкости войск и распорядительности частных начальников» (Эристова, Майделя, Бруннера).
По окончании войны, Андронников получил назначение состоять при главнокомандующем, в 1868 г. был произведён в генералы от кавалерии, 19 сентября того же года внезапно скончался.