И. С. Унковский родился в селе Колышеве недалеко от посёлка Воротынск Перемышльского уезда Калужской губернии в семье отставного капитан-лейтенанта флота. Его отец — Семён Яковлевич Унковский, соратник и близкий друг адмирала М. П. Лазарева — участвовал под командованием последнего в четвёртом российском кругосветном плавании на шлюпе «Суворов» в 1813—1816 годах.
В 1835 году по высочайшему повелению императора Николая I И. С. Унковский был зачислен в Морской кадетский корпус, который успешно окончил в 1839 году. По окончании корпуса он был определён на службу в 8-й Балтийский флотский экипаж с присвоением звания мичмана. Кампанию 1840 года Унковский провёл в море на брандвахтенном бриге «Казарский».
Весной 1841 года И. С. Унковского по желанию отца перевели в списки Черноморского флота и направили для прохождения службы в город Николаев. С апреля 1842 года Унковский был назначен адъютантом к командующему флотом адмиралу М. П. Лазареву. Являясь представителем командующего И. С. Унковский постоянно находился в плаваниях на различных кораблях. В 1843—1844 годах находясь в качестве вахтенного командира на бриге «Персей» вначале отправился из Одессы в греческий порт Пирей с поручением командования к российскому посланнику, а затем побывал во многих портах Средиземноморья, собирая разведывательные данные о состоянии иноземных военных флотов и политической обстановке, складывавшейся на Балканах. Высокой оценкой собранных Унковским сведений стало представление его к ордену Святого Станислава 3-й степени. Весной 1845 года И. С. Унковский был произведён в лейтенанты. В том же году за отличное несение службы на пароходофрегате «Громоносец», осуществлявшем крейсерские операции и поддержку высадки десантов у восточных берегов Чёрного моря, он был представлен к ордену Святой Анны 3-й степени.
В 1846 году И. С. Унковский был назначен командиром яхты (тендера) «Орианда». По описанию В. К. Истомина, «Орианда» — одномачтовое судно, выстроенное в 1836 году под личным наблюдением М. П. Лазарева, составляла предмет особой гордости адмирала. На ней Унковский три года плавал по Бугу и в Днепровском лимане, постоянно принимая участие в морских учениях, проводимых М. П. Лазаревым.
Служба на «Ореанде» принесла И. С. Унковскому первый большой успех и общефлотскую славу благодаря победе в гонке яхт, тендеров и шхун на императорские призы. Гонка проходила летом 1848 года в Кронштадте. Перед этим «Орианда» пересекла Чёрное и Средиземное моря и через Гибралтар по Атлантике достигла Балтийского моря. В экипаж, кроме командира, входило три офицера и двадцать пять матросов. «Орианда» прибыла в Кронштадт 8 августа 1848 года после более чем трёхмесячного плавания. Вот как описывал гонку в своей книге В. К. Истомин:
«Орианда» удостоилась посещения императора Николая I, который поздравил И. С. Унковского и вручил ему «высочайший приз» — позолоченный серебряный ковш, украшенный драгоценными камнями с надписью «Преуспевшему в морских гонках 14 августа 1848 г.», а яхте было присвоено имя «императорская». Сам Унковский высочайшим указом был произведён в капитан-лейтенанты.
В 1849 году И. С. Унковский принял командование бригом «Эней», на котором патрулировал у абхазских берегов, а в 1850—1851 году с «особым» заданием совершал плавание в Средиземном море. В этой средиземноморской компании за отличное управление судном он заслужил похвалу императора Франца-Иосифа и одобрение сопровождавшего монарха английского адмирала.
Победив на гонках и вырвав приз у яхт новейшей конструкции, И. С. Унковский тем же путём вернулся обратно на Чёрное море, испытав все невероятные трудности зимнего похода по Балтийскому морю и Атлантическому океану с половинным числом команды, убывшей вследствие вспыхнувшей во время стоянки яхты в Кронштадте холеры.
Осенью 1851 года И. С. Унковский был назначен флигель-адъютантом Его Императорского Величества и переведён в списки Балтийского флота.
В 1852 году в Японию с секретной дипломатической миссией направилась эскадра вице-адмирала Е. В. Путятина. Флагманским кораблём эскадры — фрегатом «Паллада» — командовал капитан-лейтенант Иван Унковский. Это плавание положило начало новому этапу в истории российского мореплавания в Тихом океане. Оно совпало с Восточной войной. В то время нашим морякам трудно было противостоять превосходящим силам англо-французского флота, но, как сообщал находившийся на фрегате «Паллада» И. А. Гончаров, «у нас поговаривают, что живыми не отдадутся, — и если нужно будет, то будут биться, слышишь, до последней капли крови».
Жена — Анна Николаевна Унковская (Коровкина) ?—1927, дочь отставного гвардейского офицера.
Дети: Варвара, Евдокия, Семён, Екатерина, Ольга.
Именем И. С. Унковского на географической карте названы: бухта и каменная банка в Японском море.