Иван Цветаев родился в семье священника Владимира Васильевича Цветаева (1818—1884) и его жены Екатерины Васильевны (1824—1859). Учился шесть лет в Шуйском духовном училище, затем ещё шесть — во Владимирской духовной семинарии. После этого поступил в Медико-хирургическую академию, но по состоянию здоровья оставил её и перешёл в Петербургский университет на классическое отделение историко-филологического факультета. Закончил университет в 1870 г., получив степень кандидата наук. С 1871 г. преподавал греческий язык в одной из петербургских гимназий, а в 1872 году стал доцентом Императорского Варшавского университета, там же, в Варшаве, защитил магистерскую диссертацию — «Cornelii Taciti Germania. I. Опыт критического обозрения текста» (Варшава, 1873). В 1874 г. отправился в зарубежную командировку в Италию для изучения древних италийских языков и письменности.
В 1876 году был зачислен доцентом Киевского университета св. Владимира, но уже через год был приглашён в Московский университет для преподавания латинского языка на кафедре римской словесности.
С 1881 года Цветаев работал в Московских Румянцевском и Публичном музеях в Москве (с 1900 по 1910 г. был директором Румянцевского музея). В 1888 г. он стал почётным членом Болонского университета. В 1889 году перешёл работать на кафедру истории и теории искусств Московского университета. Некоторое время плотно сотрудничал с журналом «Филологическое обозрение».
В 1894 года, на первом съезде русских художников и любителей художеств, созванном по случаю дарения Москве картинной галереи братьев Третьяковых, Цветаев произнёс речь, в которой призвал к созданию нового музея изящных искусств в Москве. По инициативе профессора был объявлен конкурс на лучший проект музея. Победил в конкурсе проект Р. И. Клейна. В августе 1899 г. состоялась торжественная закладка музея. Раздел пластики был задуман Иваном Владимировичем как собрание слепков с наиболее известных скульптур, какие должны были служить образцом для развития художественного вкуса. По воспоминаниям его дочери Марины Цветаевой, ряд из этих работ был выполнен в существующей до настоящего времени художественной мастерской в Шарлоттенбурге. Часть слепков из коллекции созданного им музея составляет основу Университетского музея РГГУ.
Похоронен на Ваганьковском кладбище. На фасаде Музея изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве установлена мемориальная доска в его честь.
В Тарусе (Калужская область), небольшом, но очень живописном городке на берегу Оки, в доме, где некогда жила творческая семья Цветаевых, создан музей. В городском парке Тарусы установлен памятник дочери ученого-искусствоведа — Марине Цветаевой. В 2010 году в городе также открыт памятный бюст самому Ивану Владимировичу.
Основные труды Ивана Цветаева посвящены античной филологии, изучению италийских языков, а также искусства, культурной и общественной жизни древних народов.
Первый брак (1880—1890) — с Варварой Дмитриевной Иловайской (1858—1890), дочерью историка Д. И. Иловайского. Дети от этого брака:
Второй брак (1891—1906) — с Марией Александровной Мейн (1868—1906). Дети: