Александр Кабанов родился 27 марта 1962 года в Москве, в семье В. А. Кабанова.
Закончил химический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова в 1984 году. В 1987 году защитил кандидатскую диссертацию, а в 1990 докторскую диссертацию в этом же университете на кафедре химической энзимологии. Принадлежит к научным школам И. В. Березина и В. А. Кабанова. Лауреат премии Ленинского Комсомола (1988). Работает в США с 1994 года. Основные работы, начатые в СССР и продолженные в США, положили начало использованию полимерных наноматериалов для доставки лекарств и ДНК в клетку.
Председатель зкспертного совета Национального института здоровья США по биоматериалам и биоповерхностям в 2006—2008 годах.