К. Эн родился в семье столяра. В 1899—1904 годах учился в государственной ремесленной школе, в 1904—1907 гг. — в Академии изобразительного искусства в Вене, у Отто Вагнера. Был самым талантливым из учеников Вагнера. В 1906 году удостоен премии Розенбаум, в следующем году — лауреат премий Гундель и Хагенмюллер.
С 1909 года и вплоть до ухода на пенсию в 1950 году работает в строительном управлении Вены. С 1924 года назначается на пост государственного советника по строительству. Построил в 20-е — начале 30-х годов XX века большое количество удобного и дешёвого «социального» жилья в рабочих кварталах Вены. После прихода в Австрии к власти нацистов (1938) остался на своём посту, однако заказов на проектирование и строительство зданий более не получал. С 1944 года — старший советник по строительству, затем сенатский советник. Был убеждённым холостяком. Всего К. Эн построил в Вене почти 2. 800 зданий.