Карл Курц родился в Клостернойбурге 21 ноября 1898 года, там же он начал играть футбол, когда учился в местной гимназии. После гимназии Круц ушёл в венский клуб «Фёрст», где играл в молодёжном составе. Затем Курц завязал со спортом, но через некоторое время возобновил свою детяельность, став играть в молодёжной команде клуба «Флоридсдорфер». В 1915 году Курц перешёл в клуб «Аматеурен», где уже после трёх игр, на которых просматривали Карла, он был принят в команду. Затем о нперешёл в клуб «Обер Санкт Вейтер», из которого в мае 1916 года австрийца забради на фронт.
В 1917 году, получив на войне ранение, Курц вернулся в Вену, где, выздровев, стал вновь играть за «Аматеурен», с которым выиграл медали чемпионата Австрии в 1920 году. В 1921 году Курц вернулся в Фёрст, но клуб не блистал, заняв место далеко от тройки призёров, и футболист опять вернулся в «Аматеурен». Затем Курц играл «Фёрст» и клуб «Зиммерингер», который он покинул в марте 1927 года, уехав тренировать в Латвии. В октябре того же года Курц вернулся в Вену и играл за «Аматеурен», которая к тому времени сменила название на «Аустрию». И играл там до зимнего перерыва сезона 1928-1929, завершив карьеру из-за заболевания лейкемией.
В сборной Австрии Курц дебютировал в ноябре 1919 года против сборной Венгрии, а в ноябре 1928 года провёл последний матч в составе национальной команды, ставший для него 32-м. Также играл Курц и за сборную Вены в 15-ти встречах.
После окончания карьеры Курц работал тренером, сначала ассистеном главного коуча «Аустрии» Роберта Ланге, а затем самостоятельно возглавив венский клуб. В 1931 году Курц уехал в Швейцарию, где работал с клубами «Гренхен» и «Базель», с которым выиграл кубко Швейцарии, а в ноябре того же года лейкемия победила Курца, и австрийца не стало.